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通往 AI 之路：Python 机器学习入门-概率与统计

news 来源：原创 2025/6/19 17:03:38

2.2 概率与统计（机器学习的基础）

概率与统计是机器学习的重要数学基础，很多算法依赖于数据的统计特性和概率分布。本章介绍：

均值、中位数、方差、标准差
常见概率分布（正态分布、泊松分布、指数分布）
贝叶斯定理及其应用

2.2.1 均值、中位数、方差、标准差

1. 均值（Mean）

均值（Mean）表示数据的平均值，计算公式：

均值 = (所有数据之和) / (数据个数)

Python 计算：

import numpy as np

data = [10, 20, 30, 40, 50]
mean_value = np.mean(data)
print("均值:", mean_value)

2. 中位数（Median）

中位数（Median）是排序后位于中间的值：

奇数个数据：取中间的那个数
偶数个数据：取中间两个数的平均值

Python 计算：

median_value = np.median(data)
print("中位数:", median_value)

3. 方差（Variance）

方差（Variance）衡量数据的离散程度，计算公式：

方差 = (所有数据与均值的差的平方和) / (数据个数)

Python 计算：

variance_value = np.var(data)
print("方差:", variance_value)

4. 标准差（Standard Deviation）

标准差（Standard Deviation）是方差的平方根：

标准差 = √(方差)

Python 计算：

std_value = np.std(data)
print("标准差:", std_value)

2.2.2 常见概率分布

1. 正态分布（Normal Distribution）

正态分布（也叫高斯分布）是一种常见的概率分布，符合“钟形曲线”。它由两个参数控制：

均值（Mean）：决定曲线的中心
标准差（Standard Deviation）：决定曲线的宽度

Python 生成正态分布数据：

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats

mu, sigma = 0, 1  # 均值和标准差
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = stats.norm.pdf(x, mu, sigma)

plt.plot(x, y, label="正态分布")
plt.legend()
plt.show()

2. 泊松分布（Poisson Distribution）

泊松分布描述单位时间或单位空间内某事件发生的次数，例如：

每小时顾客的到达数量
每天网站的访问次数

计算公式：

P(k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!

λ（Lambda）：期望值（某时间单位内的平均发生次数）
k：发生次数

Python 计算：

from scipy.stats import poisson

lam = 3  # 期望值
x = np.arange(0, 10)
y = poisson.pmf(x, lam)

plt.bar(x, y, label="泊松分布")
plt.legend()
plt.show()

3. 指数分布（Exponential Distribution）

指数分布用于描述事件发生的时间间隔，比如：

客户等待服务的时间
设备故障的时间间隔

计算公式：

f(x) = λ * e^(-λx) （x >= 0）

λ（Lambda）：事件发生的平均频率

Python 计算：

from scipy.stats import expon

lam = 1.0
x = np.linspace(0, 5, 100)
y = expon.pdf(x, scale=1/lam)

plt.plot(x, y, label="指数分布")
plt.legend()
plt.show()

2.2.3 贝叶斯定理

贝叶斯定理用于计算事件发生的条件概率，公式如下：

P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

其中：

P(A | B)：在事件B发生的情况下，事件A发生的概率
P(B | A)：在事件A发生的情况下，事件B发生的概率
P(A) 和 P(B)：A 和 B 各自的概率

贝叶斯推断示例

假设：

某疾病的患病率为 1%
测试准确率为 99%
某人测试结果为阳性，求他实际患病的概率

Python 计算：

# 先验概率
P_A = 0.01  # 患病率
P_not_A = 1 - P_A  # 未患病率
P_B_given_A = 0.99  # 测试阳性给定患病
P_B_given_not_A = 0.01  # 测试阳性给定未患病

# 全概率公式计算 P(B)
P_B = P_B_given_A * P_A + P_B_given_not_A * P_not_A

# 贝叶斯公式计算 P(A|B)
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print("患病概率:", P_A_given_B)