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UVa 1344 Tian Ji The Horse Racing

news 2025/10/21 9:49:38

题目描述

这是一个源自中国历史"田忌赛马"故事的问题。田忌和齐王各自有 $n$ 匹马，每匹马有一个速度值。比赛规则是进行 $n$ 轮比赛，每轮各派出一匹马，每匹马只能使用一次。每场比赛胜者获得 $200$ 银元，败者失去 $200$ 银元，平局则没有银元得失。

已知齐王在每个等级的马都比田忌的强，但通过孙膑的计策，田忌可以调整马的出场顺序来最大化收益。现在需要编写程序计算田忌最多能获得多少银元。

题目分析

问题本质

这个问题可以看作是一个特殊的二分图最大权匹配问题：

将田忌的马放在左侧，齐王的马放在右侧
如果田忌的某匹马能赢齐王的某匹马，则在它们之间建立一条权值为 $1$ 的边
如果会输，则权值为 $- 1$
如果平局，则权值为 $0$

但由于马的速度决定了胜负关系，且双方马匹都按速度排序后，这个问题有更高效的贪心解法。

贪心策略

核心思想是"用最弱的马去消耗对方最强的马，用最强的马去赢对方次强的马"。

具体步骤：

将双方的马都按速度从大到小排序
设置四个指针，分别指向双方当前最快和最慢的马
比较策略：
- 如果田忌最快的马能赢齐王最快的马：直接比赛，田忌赢一场
- 如果田忌最快的马输给齐王最快的马：用田忌最慢的马对齐王最快的马，输一场减少损失
- 如果双方最快的马速度相等：
  - 如果田忌最慢的马能赢齐王最慢的马：直接比赛最慢的马，田忌赢一场
  - 否则：用田忌最慢的马对齐王最快的马，可能输或平

算法复杂度

排序： $\log n)$
贪心匹配： $O (n)$
总复杂度： $\log n)$ ，对于 $\leq 1000$ 完全可行

代码实现

// Tian Ji The Horse Racing
// UVa ID: 1344
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-20
// UVa Run Time: 0.010s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>using namespace std;int main() {int n;while (cin >> n && n != 0) {vector<int> tian(n), king(n);for (int i = 0; i < n; i++) cin >> tian[i];for (int i = 0; i < n; i++) cin >> king[i];// 将双方马匹按速度从大到小排序sort(tian.begin(), tian.end(), greater<int>());sort(king.begin(), king.end(), greater<int>());// 初始化指针：tianFast/kingFast指向当前最快的马，tianSlow/kingSlow指向当前最慢的马int tianFast = 0, tianSlow = n - 1;int kingFast = 0, kingSlow = n - 1;int win = 0, lose = 0;  // 记录赢和输的场次// 贪心匹配过程while (tianFast <= tianSlow) {// 情况1：田忌最快的马能赢齐王最快的马if (tian[tianFast] > king[kingFast]) {win++;          // 田忌赢一场tianFast++;     // 双方最快的马出局kingFast++;}// 情况2：田忌最快的马输给齐王最快的马else if (tian[tianFast] < king[kingFast]) {lose++;         // 田忌输一场tianSlow--;     // 田忌用最慢的马对齐王最快的马kingFast++;     // 齐王最快的马出局}// 情况3：双方最快的马速度相等else {// 比较双方最慢的马if (tian[tianSlow] > king[kingSlow]) {// 田忌最慢的马能赢齐王最慢的马win++;      // 田忌赢一场tianSlow--; // 双方最慢的马出局kingSlow--;} else {// 用田忌最慢的马对齐王最快的马if (tian[tianSlow] < king[kingFast]) {lose++; // 只有田忌最慢的马比齐王最快的马慢时才算输}tianSlow--; // 田忌最慢的马出局kingFast++; // 齐王最快的马出局}}}// 计算最终收益：(赢的场次 - 输的场次) × 200int result = (win - lose) * 200;cout << result << endl;}return 0;
}