【课堂笔记】复变函数-6

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定理1：由积分构造全纯函数

设$\gamma$是$\mathbb{C}$上的一个可求长曲线，$\varphi :\text{Im}\gamma \to \mathbb{C}$是连续函数，对$z\in \mathbb{C}\setminus \text{Im}\gamma$，定义：
$$f(z):={\int }_{\gamma }\frac{\varphi (w)}{w-z}dw$$
对任意$z_0\in \mathbb{C}\setminus \text{Im}\gamma$，设$r=\text{dist}(z_0,\text{Im}\gamma )$，则$f$是$D(z_0,r)$上的一个幂级数：
$$f(z)=\underset{n=0}{\sum ^{\infty }}\left({\int }_{\gamma }\frac{\varphi (w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw\right)(z-z_0{)}^n$$
特别的，$f$在$\mathbb{C}\setminus \text{Im}\gamma$上是全纯的。

推论2

设$D\subset \mathbb{C}$是圆盘，$f:\overline{D}\to \mathbb{C}$是全纯的，则$f$是$D$上的幂级数。

证明：
由柯西积分定理：
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}dw,\forall z\in D$$
由定理1，$f$在$D$上是幂级数。

• 这两个结论说明如果函数在复数意义上是一阶可导的，由幂级数性质，它自动满足高阶可导。（与实函数不一样）
• 这个推论告诉我们，全纯函数在局部总是可以写成幂级数；之前证明过，幂级数总是全纯的。（两者关系）

定理3： Morera

设$U\subset \mathbb{C}$是开集，$f:U\to \mathbb{C}$是连续的，假设对任意可求长闭曲线$\gamma$，有
$${\int }_{\gamma }fdz=0$$
则$f$是全纯的。

证明：我们可以假设$U$是连通的，固定$z_0\in U$
对任意$z\in U$，令${\gamma }_z$是任意可求长曲线，连接着$z$和$z_0$。定义
$$F(z):={\int }_{{\gamma }_z}fdz$$
这个定义与${\gamma }_z$的选择无关。（因为把${\gamma }_z,{\gamma }_{z^{\prime }}$拼起来就是一个闭曲线，而条件说闭曲线积分为$0$）
于是$F^{\prime }(z)=f(z)$，$F$是全纯的。
因为$f$是$F$的导数，$f$在局部上是幂级数，所以$f$也是全纯的。

推论4：高阶微分公式

设$D:=D(z_0,r)\subset \mathbb{C}$，设$f:\overline{D}\to \mathbb{C}$是全纯的。则：
$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}{\int }_{\partial D}\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw$$

证明：由定理1，有：
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{n=0}{\sum ^{\infty }}\left({\int }_{\partial D}\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw\right)(z-z_0{)}^n$$
另一面，由泰勒展开：
$$f(z)=\underset{n=0}{\sum ^{\infty }}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0{)}^n$$
然后比较系数即可。

定理5：柯西估计

设$D:=D(z_0,r)$，$f:\overline{D}\to \mathbb{C}$是全纯的。设$M:=\underset{z\in \partial D}{\max }|f(z)|$，则：
$$|f^{(n)}(z_0)|\le Mn!r^{-n}$$
（实函数中微分通常不能被函数本身的模长控制，但全纯函数可以）

证明：由推论4，
$$\begin{array}{rl}|f^{(n)}(z_0)|& =\left|\frac{n!}{2\pi i}{\int }_{\partial D}\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw\right|\\ & \le \left|\frac{n!}{2\pi i}{\int }_{\partial D}\frac{M}{r^{n+1}}ds\right|\\ & =Mn!r^{-n}\end{array}$$

定理6：Liouville

设$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$是全纯的，$f$是受限的，则$f$是一个常数。

证明：假设$|f(z)\le M$，对某个$M>0$，设$R>0,z_0\in \mathbb{C}$
对圆盘$D(z_0,R)$进行柯西估计，我们得到：
$$|f^{\prime }(z_0)|\le M{R}^{-1}$$
令$R\to +\infty$，则$f^{\prime }(z_0)=0$。而$z_0$是任意的，所以$f$是常值函数。

定理7：代数基本定理

设$f$是复系数的多项式，$\mathrm{deg}f\ge 1$。则$f$至少有一个$\mathbb{C}$上的根。

证明：假设$f$在$\mathbb{C}$上没有根，则令
$$g:=\frac{1}{f}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$$
由于$\det f\ge 1$，$|z|\to +\infty$，$|f(z)|\to +\infty$，于是$|g|\le M$对某个$M\ge 0$
于是由定理6，$g$是一个常数，$f$也是一个常数，矛盾。

定理8：全纯函数的一致极限

设$U\subset \mathbb{C}$是开子集，$f_n:U\to \mathbb{C}$是全纯函数，且一致收敛于任何紧子集$K\subset U$
则极限函数$f$也是全纯的。

证明：设$D$是一个圆盘，$\overline{D}\subset U$，由柯西积分公式，
$$f_n(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\partial D}\frac{f_n(w)}{w-z}dw$$
因为$f_n\to f$在$\overline{D}$上是一致收敛的，令$n\to +\infty$, $f_n(z)\to f(z)$，则
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}dw$$
由定理1，$f$是全纯的。

引理9

设$U\subset \mathbb{C}$是连通开集，设$f:U\to \mathbb{C}$是全纯的。设$z_0\in U$。
假设$\forall n\ge 1,f^{(n)}(z_0)=0,\forall n\ge 1$，则在$U$上$f\equiv f(z_0)$

证明：设
V : = { z ∈ U : f ( z ) = f ( z 0 ) , f ( n ) ( z ) = 0 , ∀ n ≥ 1 } V:= \set{z \in U: f(z) = f(z_0), f^{(n)}(z) = 0, \forall n \ge 1} V:={z∈U:f(z)=f(z0​),f(n)(z)=0,∀n≥1}
首先$V\ne \varnothing$，因为$z_0\in V$
$\forall n\ge 1$，$f^{(n)}$在$V$上是连续函数，所以$V$在$U$中是闭集。
又因为$f$在局部上可以写成幂级数（推论2），而$f$的$n\ge 1$阶导都为0。所以对于$z\in V$，$f$的泰勒展开为常数，存在一个开集$D$，使得$z\in D$，满足
$$f{|}_D=f(z_0)$$
于是$V$在$U$上是开的。
因为$U$是连通的，$V$既开又闭，所以$V=U$
于是在$U$上$f(z)\equiv f(z_0)$

引理10：零点是孤立的

设$U\subset \mathbb{C}$是连通开集，设$f:U\to \mathbb{C}$是全纯的，且不是常值函数。设$z_0\in U$
则$\exists r>0$，使得$z_0$是$f-f(z_0)$在$D(z_0,r)$上的唯一的零点。

证明：取$D^{\prime }=D(z_0,r^{\prime })$满足$\overline{D^{\prime }}\subset U$
则在$D^{\prime }$，由于$f$不是常值函数，一定能找到一项$(z-z_0{)}^m$，$$f(z)-f(z_0)=a_m(z-z_0{)}^m+...,a_m>0,m\ge 1$$
则我们可以写成$f(z)-f(z_0)=(z-z_0{)}^{m}g(z)$，$g$是$D^{\prime }$上的幂级数，$g(z_0)=a_m\ne 0$
于是可以令$r>0$足够小，满足在$D(z_0,r)$上$g\ne 0$，于是$z_0$是唯一零点。

推论11：全纯函数的唯一性

设$U\subset \mathbb{C}$是一个连通开集，$f,g:U\to \mathbb{C}$是全纯的，假设$\exists z_n\in U,z_n\to z$，$z\in U$，且$f(z_n)=g(z_n)$
则在$U$上$f\equiv g$

证明：对函数$f-g$应用引理11，可得它只能为常值$0$

定义12: 链，循环

一个链(chain)是由“有限加法”定义的，形如$\underset{i=1}{\sum ^n}{a}_i{\gamma }_i$，其中$a_i\in \mathbb{Z}$，${\gamma }_i$是可求长曲线。

链被称为一个循环(cycle)，如果所有的${\gamma }_i$都是闭曲线。

如果$\gamma =\underset{i=1}{\sum ^n}{a}_i{\gamma }_i$，$f$是一个连续函数，定义在所有${\gamma }_i$的像的并集上。
定义$${\int }_{\gamma }fdz:=\underset{i=1}{\sum ^n}{a}_i{\int }_{{\gamma }_i}fdz$$

如果$\alpha$是可求长曲线，则
$${\int }_{-\alpha }fdz={\int }_{(-1)\alpha }fdz=-{\int }_{\gamma }fdz$$
相似的，如果$\gamma$是一个循环，令$z\notin \underset{i=1}{\bigcup ^n}\text{Im}{\gamma }_i$我们可以定义它的环绕数：
$$n(\gamma ,z):=\underset{i=1}{\sum ^n}{a}_{i}n({\gamma }_i,z)$$

【后面如果出现$\underset{i=1}{\bigcup ^n}{\gamma }_i$，它的意思就是$\underset{i=1}{\bigcup ^n}\text{Im}{\gamma }_i$】

定义13：同调

设$U\subset \mathbb{C}$是开集，设$\gamma$是$U$上的一个循环，我们称$\gamma$是同调(homologues)于$0$的，如果$\forall z\in \mathbb{C}\setminus U$，$n(\gamma ,z)=0$

引理14

设$U\subset \mathbb{C}$是简单连通开集，则$U$上的任意循环都是同调于$0$的。

证明：记$\gamma =\underset{i=1}{\sum ^n}{a}_i{\gamma }_i$，${\gamma }_i$是闭曲线。${\gamma }_i$同伦于一个固定曲线。
因为环绕数是同伦不变的，则$\forall z\in \mathbb{C}\setminus U$, $n({\gamma }_i,z)=0$

用处：对于非单连通的区域，例如$D^{\ast }$，两条曲线${\gamma }_1,{\gamma }_2$满足$n({\gamma }_1,0)=1,n({\gamma }_2,0)=-1$，它们的链${\gamma }_1+{\gamma }_2$是同调于$0$的。

定理15：柯西积分定理的一般形式

设$U\subset \mathbb{C}$是开集，设$\gamma$是循环，在$U$上同调于$0$，设$f:U\to \mathbb{C}$是全纯的。
则
$${\int }_{\gamma }fdz=0$$

证明：
Step1: 假设$U$是受限的
给定$\delta >0$，我们用相似的边长为$\delta$的小方块去覆盖$\mathbb{C}$
设$Q_j,j\in J$是这些小方块，满足$\overline{Q_j}$被$U$包含。因为$U$是受限的，所以$J$是有限的。
定义一个循环${\Gamma }_{\delta }=\sum _{j\in J}\partial Q_j$，$U_{\delta }$是$\sum _{j\in J}\overline{Q_j}$的内部。
我们可以选取足够小的$\delta$，满足$\gamma \subset U_{\delta }$
设$\xi \in U\setminus U_{\delta }$是一个任意的点，则存在一个小方块$Q$（不在$Q_j$中），使得$\xi \in \overline{Q},\overline{Q}\not\subset U$
取${\xi }_0\in \overline{Q}\setminus U$，然后令$L$是链接$\xi ,{\xi }_0$的线段，$L\subset \overline{Q},L\cap U_{\delta }=\varnothing$
因为$\gamma \subset U_{\delta }$，所以$L\subset \mathbb{C}\setminus \gamma$
这意味着$\xi ,{\xi }_0$被包含于同一个$\mathbb{C}\setminus \gamma$的连通块。
所以$n(\gamma ,\xi )=n(\gamma ,{\xi }_0)=0$（因为$\xi \notin U$）
因为$\xi$是任意的，所以$n(\gamma ,\xi )=0,\forall \xi \in U\setminus U_{\delta }$
设${\Gamma }_{\delta }^{\prime }$是$U_{\delta }$的边界，${\Gamma }_{\delta }^{\prime }\subset U\setminus U_{\delta }$，
则$n(\gamma ,\xi )=0,\forall \xi \in {\Gamma }_{\delta }^{\prime }$ -----（$\ast \ast$）

设$j_0\in J$，对小方块使用柯西积分公式，对每个$Q_j$，$\forall z\in Q_{j_0}$，有：
$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\partial Q_j}\frac{f(w)}{w-z}dw=\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }j\ne j_0\\ f(z)& \text{ if }j=j_0\end{array}$$
将所有$j\in J$的结果求和：
$$\begin{gathered} \frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_{\delta }}\frac{f(w)}{w-z}dw=f(z),\forall z\in Q_{j_0} \\ \frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_{\delta }^{\prime }}\frac{f(w)}{w-z}dw=f(z),\forall z\in \bigcup _{j\in J}{Q}_j \end{gathered}$$

因为等式两边都是连续函数，这个式子对任意$z\in U_{\delta }$都成立。
特别的：
$${\int }_{\gamma }fdz={\int }_{\gamma }\left(\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\Gamma }_{\delta }^{\prime }}\frac{f(w)}{w-z}dw\right)dz$$
另一方面，${\Gamma }_{\delta }^{\prime }\cap \gamma =\varnothing$，$\frac{f(w)}{w-z}$在$(z,w)$是一个连续函数，则我们可以交换积分顺序：
$${\int }_{\gamma }fdz={\int }_{{\Gamma }_{\delta }^{\prime }}\left(\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{w-z}dz\right)dw=0$$
等于0是因为$w\in {\Gamma }_{\delta }^{\prime },n(\gamma ,w)=0$（通过（$\ast \ast$）可得）

Step2: 假设$U$不是受限的
替换$U$为$U\cap D(0,R):=U^{\prime }$，则$U^{\prime }$是受限的。我们可以选择足够大的$R$满足$\gamma \subset U^{\prime }$。只要证$\gamma$在$U^{\prime }$上是同调于$0$。

对任意$a\in \mathbb{C}\setminus U^{\prime }$，要么$a\in \mathbb{C}\setminus U$，要么$a\in \mathbb{C}\setminus D(0,R)$；

• 如果$a\in \mathbb{C}\setminus U$，则$n(\gamma ,a)=0$
• 如果$a\in \mathbb{C}\setminus D(0,R)$，可以直接计算得$n(\gamma ,a)=0$