两个四元数叉乘与姿态旋转的关系

背景

最近在学习ros2的tf2库，碰到很多求解从姿态1转变到姿态2的变换矩阵的情况。实际使用中发现，使用四元数求解这个过程，运算量会远少于用矩阵，所以对四元数的运算关系浅显地做了一些简单的研究。

问题描述

已知2个四元数q1和q2，物体从初始姿态（即四元数：0i+0j+0k+1）先旋转到q1，再旋转到q2。求证物体最终的姿态，是q1*q2还是q2*q1?

验证过程（无任何推导，纯举例验证）

通过查资料很容易得到一个先导结论：

四元数叉乘不满足交换律，即q1*q2不一定等于q2*q1

直接举例：

q1 = 0i+0j+1k+1
q2 = 2i-8j+1k+1

q1和q2的图像

借助一个在线工具3D Rotation Converter，我们能看到对应的姿态图像如下,第一幅是q1,第二幅是q2：


这个3D图像工具中Euler角的Order是按照内旋方式旋转的，即图中先绕物体自身Z轴转，再绕自身Y轴，最后绕自身X轴旋转，这与tf2库中是一致的。这一点很重要，无论研究哪种姿态变换，搞清楚坐标系和内旋外旋都是第一步。
我们可以看到，q1相对原始坐标系，绕自身Z轴转了90度，q2相对原始坐标系，差不多指向了右后方(红色箭头相对黄色坐标轴)，且自身Z轴基本是朝下了。

q1和q2的叉乘计算结果

使用在线工具omni calculator可以得到q1和q2叉乘的2个计算结果：

q₁ * q₂ = 10i - 6j + 2k + 0
q₂ * q₁ = -6i - 10j + 2k + 0

画出这q1*q2和q2*q1的结果，第一幅是q1*q2,第二幅是q2*q1：

图像对比

通过q1和q2的图像，我们可以大致推断，先旋转q1再旋转q2，相当于把红色箭头先从黄色坐标轴绕自身Z轴转90度到绿色坐标轴，然后以不知道什么方式转到绿色坐标轴的右后方，同时把Z轴指向下方。
对比两个叉乘结果的图像，很明显第一幅是接近的。实际如果去观察Euler角度，也会发现数字上是一致的。
（有意思的是，两个叉乘图像的红色箭头方向好像差了180度，我觉得这应该不是巧合，但还没确认。。。）

结论

物体从初始姿态（即四元数：0i+0j+0k+1）先旋转到q1，再旋转到q2，物体最终的姿态是q1*q2。
即四元数的姿态变换顺序是左前右后，应该采用右乘方式

整个过程纯粹使用举例方式感性直观验证，结论正确性仅供参考

数学推导

To be continue…