从能量到位移：混合模式分层失效临界位移推导

本文基于复合材料断裂力学的B-K准则，结合内聚力模型的数值实现，为工程师和研究人员提供一个完整的理论推导过程。

在复合材料分层损伤的模拟中，内聚力模型通过清晰的物理过程描述损伤：线弹性响应 → 损伤起始 → 软化退化 → 完全失效。其中，精确定义"完全失效点"至关重要。

在单一模式下，这很直接：当能量释放率达到材料的断裂韧性，损伤就完全扩展。但现实中，材料往往处于复杂的混合模式受力状态。这时，失效点该如何确定？

下面将一步步推导，将基于能量释放率的B-K混合模式失效准则转化为一个基于位移的、可在有限元中直接使用的临界失效位移公式。

一、起点：我们已知什么？

推导始于三个基本要素，它们构成了整个理论的基石。

1. B-K混合模式失效准则

这是判断分层是否扩展的根本法则，描述了混合模式下材料的临界断裂韧性：

$$G_C=G_{IC}+(G_{IIC}-G_{IC}){\left(\frac{G_{II}}{G_T}\right)}^{\eta }\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中：
$G_{IC}$, $G_{IIC}$：纯I型、II型断裂韧性
$G_T=G_I+G_{II}$：总能量释放率
$\eta$：材料参数，控制过渡曲线形状

2. 双线性内聚力模型

在损伤演化阶段，应力-位移关系呈线性软化：

$$G_T=\frac{1}{2}{\tau }_m^0{\delta }_m^f\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中：
${\tau }_m^0$：有效强度
${\delta }_m^f$：临界有效位移（我们的求解目标）

3. 线弹性关系

在损伤起始前，应力与位移成正比：

$${\tau }_m=K{\delta }_m\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中$K$是界面刚度。在损伤起始点有：

$${\tau }_m^0=K{\delta }_m^0\text{\hspace{1em}(4)}$$

二、目标：我们要得到什么？

我们希望找到一个混合模式临界位移${\delta }_m^f$。当有效位移${\delta }_m$达到${\delta }_m^f$时，公式(1)的B-K失效准则恰好被满足。

此外，我们引入一个关键参数——模式混合比$\beta$：

$$\beta =\frac{{\delta }_2}{{\delta }_3}\text{\hspace{1em}(5)}$$
它量化了II型与I型位移的比例。

我们的最终目标是推导出下面这个公式：

$${\delta }_m^f=\frac{2}{K{\delta }_m^0}\left[G_{IC}+(G_{IIC}-G_{IC}){\left(\frac{{\beta }^2}{1+{\beta }^2}\right)}^{\eta }\right]$$

三、推导过程：从能量到位移

现在，让我们开始这段美妙的推导旅程。

第一步：建立能量-位移基本关系

将弹性关系(4)代入双线性模型公式(2)：

$$G_T=\frac{1}{2}(K{\delta }_m^0){\delta }_m^f$$
重新整理，得到能量与位移的基本关系：

$${\delta }_m^f=\frac{2G_T}{K{\delta }_m^0}\text{\hspace{1em}(6)}$$
这个公式揭示了：临界位移与总断裂能成正比。

第二步：连接位移比与能量释放率比

根据比例加载和刚度一致性的假设（详细说明见文末附注），我们可以推导出能量释放率与位移比的直接关系：

$$G_{II}={\beta }^2{G}_I\text{\hspace{1em}(7)}$$

第三步：用位移比表示能量模式比

利用$G_T=G_I+G_{II}$，并将公式(7)代入：

$$G_T=G_I+{\beta }^2{G}_I=G_I(1+{\beta }^2)$$
从中解出：

$$G_I=\frac{G_T}{1+{\beta }^2}$$

$$G_{II}=\frac{{\beta }^2}{1+{\beta }^2}{G}_T$$

于是得到关键关系：

$$\frac{G_{II}}{G_T}=\frac{{\beta }^2}{1+{\beta }^2}\text{\hspace{1em}(8)}$$

第四步：代入B-K准则完成推导

在临界状态下，总能量释放率等于材料的临界断裂韧性：

$$G_T=G_C$$
根据B-K准则(1)，并将关系式(8)代入：

$$G_T=G_{IC}+(G_{IIC}-G_{IC}){\left(\frac{{\beta }^2}{1+{\beta }^2}\right)}^{\eta }\text{\hspace{1em}(9)}$$
现在，将公式(9)代入我们最初的能量-位移关系(6)中：

$${\delta }_m^f=\frac{2}{K{\delta }_m^0}\left[G_{IC}+(G_{IIC}-G_{IC}){\left(\frac{{\beta }^2}{1+{\beta }^2}\right)}^{\eta }\right]$$

四、写在最后的话

这个推导的成功之处在于它搭建了一座连接不同物理领域的桥梁：

宏观层面：B-K准则基于能量释放率，这是断裂力学的经典方法
微观层面：临界位移是内聚力模型中直接可用的失效判据

公式的优美之处在于它的动态适应性：

当$\beta =0$（纯I型）：${\delta }_m^f=\frac{2G_{IC}}{K{\delta }_m^0}$
当$\beta \to \infty$（纯II型）：${\delta }_m^f=\frac{2G_{IIC}}{K{\delta }_m^0}$
在中间状态：${\delta }_m^f$平滑过渡，准确反映材料行为

在实际的有限元分析中，程序会实时监测每个内聚力单元的位移模式比$\beta$，动态计算其临界失效位移${\delta }_m^f$，当单元的有效位移达到此阈值时，单元完全失效，裂纹向前扩展。

通过这个推导，我们将一个基于能量的、宏观的断裂力学准则，成功地转化为一个基于位移的、可在有限元中直接执行的失效判据。这种"从能量到位移"的转化，使得我们能够在数值模拟中精确复现复合材料在复杂载荷下的分层扩展行为。

附注：位移模式比与断裂韧性模式比的等价性证明

附注部分旨在详细阐述推导过程中的一个核心环节：为何位移模式比$\beta =\frac{{\delta }_2}{{\delta }_3}$可以等价于断裂韧性模式比 $\frac{G_{II}}{G_T}$。这一等价性是连接宏观能量准则与微观位移判据的桥梁。

1. 基本假设

为使推导成立，我们构建了一个理想化但符合工程实际的物理场景：

比例加载假设：在整个加载过程中，各位移分量的比值保持不变，即$\frac{{\delta }_2}{{\delta }_3}=\beta$为常数。这意味着材料的变形模式是稳定的。

刚度一致性假设：界面在I型和II型方向上的初始刚度相同，即 $K_I=K_{II}=K$。这保证了力学响应的对称性与简化，从而有：
$${\tau }_3=K{\delta }_3,{\tau }_2=K{\delta }_2$$

2. 从位移模式比到能量释放率之比

我们的目标是建立位移模式比$\beta$ 与能量释放率之比$\frac{G_{II}}{G_I}$ 的关系。

能量释放率 $G$ 的微分形式（即能量释放率功率）可以表示为应力与位移速率的乘积：
$${\dot{G}}_I={\tau }_3{\dot{\delta }}_3,{\dot{G}}_{II}={\tau }_2{\dot{\delta }}_2$$
因此，在任意时刻，两者的瞬时比值为：
$$\frac{{\dot{G}}_I}{{\dot{G}}_{II}}=\frac{{\tau }_3{\dot{\delta }}_3}{{\tau }_2{\dot{\delta }}_2}$$

将本构关系${\tau }_3=K{\delta }_3$，${\tau }_2=K{\delta }_2$代入上式：
$$\frac{{\dot{G}}_I}{{\dot{G}}_{II}}=\frac{(K{\delta }_3){\dot{\delta }}_3}{(K{\delta }_2){\dot{\delta }}_2}=\frac{{\delta }_3{\dot{\delta }}_3}{{\delta }_2{\dot{\delta }}_2}$$

根据比例加载假设，位移速率之比等于位移之比：${\dot{\delta }}_2/{\dot{\delta }}_3={\delta }_2/{\delta }_3=\beta$。代入上式：
$$\frac{{\dot{G}}_I}{{\dot{G}}_{II}}=\frac{{\delta }_3{\dot{\delta }}_3}{(\beta {\delta }_3)(\beta {\dot{\delta }}_3)}=\frac{1}{{\beta }^2}$$

由于整个加载过程中模式比恒定，瞬时功率之比积分后得到的总能量释放率之比保持不变，故有：
$$\frac{G_I}{G_{II}}=\frac{1}{{\beta }^2}\text{或}{G}_{II}={\beta }^2{G}_I$$
至此，我们成功地将位移模式比 $\beta$ 与能量释放率之比联系起来。

3. 从能量释放率之比到断裂韧性模式比

断裂韧性模式比定义为 $\frac{G_{II}}{G_T}$，其中 $G_T=G_I+G_{II}$ 为总能量释放率。

将关系式$G_{II}={\beta }^2{G}_I$ 代入：
$$G_T=G_I+{\beta }^2{G}_I=G_I(1+{\beta }^2)$$

由此可解出：
$$G_I=\frac{G_T}{1+{\beta }^2},G_{II}=\frac{{\beta }^2}{1+{\beta }^2}{G}_T$$

最终得到核心等价关系：
$$\frac{G_{II}}{G_T}=\frac{{\beta }^2}{1+{\beta }^2}$$

4. 小结

在比例加载和刚度一致的假设下，位移模式比 $\beta$的数学形式 $\frac{{\beta }^2}{1+{\beta }^2}$与断裂韧性模式比 $\frac{G_{II}}{G_T}$是完全等价的。这一结论是整个推导过程的基石。

(1) 它将直观易测的 “位移空间” 参数$\beta$与断裂力学中的 “能量空间” 参数$\frac{G_{II}}{G_T}$联系起来。
(2) 使得基于能量的B-K断裂准则能够转化为有限元软件中可直接执行的、基于位移的失效判据。
(3) 它揭示了材料的宏观断裂行为如何由其微观的变形模式所决定。