《小白学随机过程》第一章：随机过程——定义和形式（附录2. 随机变量和随机过程公式解读）

在文章 《小白学随机过程》第一章：随机过程——定义、形式与实例
中提到，在概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上，随机变量是一个可测函数：
$$X:\Omega \to \mathbb{R},\omega \mapsto X(\omega )$$
怎么理解这个公式呢，本附录进行详细说明

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一、随机变量公式详解

• $\to$ ：表示“映射到”的含义，表示函数的定义域映射到值域。
  • 用于说明一个函数 从哪个集合映射到哪个集合，即描述函数的整体类型。
  • 关注的是集合之间的关系，不涉及具体元素怎么变
  • 如 $X:\Omega \to \mathbb{R}$ 表示随机变量$X$是一个从样本空间 $\Omega$ 到实数集 $\mathbb{R}$ 的函数
• $\mapsto$： 表示“被映射为”
  • 用于说明某个具体输入元素被函数映射成什么输出元素。
  • 如 $x\mapsto f(x)$ 表示元素$x$被函数映射为$f(x)$

1. $X:\Omega \to \mathbb{R}$

• 含义：这是一个从“样本空间”到“实数集”的函数。
  • $\Omega$：所有可能的基本事件（结果）的集合，例如：
    • 掷骰子： Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } \Omega = \{1,2,3,4,5,6\} Ω={1,2,3,4,5,6}
    • 抛硬币： Ω = { H , T } \Omega = \{H,T\} Ω={H,T}
    • 温度测量：$\Omega =[0,100]$
  • $\mathbb{R}$：实数集，表示随机变量的取值范围。

2. $\omega \mapsto X(\omega )$

• 含义：对每个基本事件 $\omega$，赋予一个数值 $X(\omega )$
• 例如：
  • 若 $\omega =3$（掷出3点），则 $X(3)=3$
  • 若 $\omega =H$（正面），则 $X(H)=1$
  • 若 $\omega =T$（反面），则 $X(T)=0$

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二、随机过程公式详解

$$X:T\times \Omega \to S,(t,\omega )\mapsto X(t,\omega )$$

这是随机过程最标准、最通用的数学表达方式，与随机变量的格式完全一致。

1. $X:T\times \Omega \to S$

符号	含义
$T$	指标集（通常表示时间） 例如：$T=\mathbb{N}$（离散时间）、$T=[0,\infty )$（连续时间）
$\Omega$	样本空间（所有可能的基本事件集合，随机过程中的基本事件是一条轨迹）
$S$	状态空间（随机变量取值的空间） 例如：$S=\mathbb{R}$、${\mathbb{R}}^d$ 等
$T\times \Omega$	笛卡尔积：所有“时间-结果”对的集合

2.$(t,\omega )\mapsto X(t,\omega )$

符号	含义
$X(t,\omega )$	在时刻 $t$、实验结果为 $\omega$ 时的系统状态

三、例子说明

1. 抛硬币（随机变量）

• Ω = { H , T } \Omega = \{H, T\} Ω={H,T}
• $X(H)=1$, $X(T)=0$
• 公式：
  X : Ω → { 0 , 1 } , ω ↦ { 1 ω = H 0 ω = T X: \Omega \to \{0,1\},\quad \omega \mapsto \begin{cases} 1 & \omega = H \\ 0 & \omega = T \end{cases} X:Ω→{0,1},ω↦{10​ω=Hω=T​

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2. 多次抛硬币（随机过程）

• T = { 1 , 2 , 3 } T = \{1,2,3\} T={1,2,3}：三次抛掷
• Ω = { H , T } 3 \Omega = \{H,T\}^3 Ω={H,T}3：所有长度为 $3$ 的有序序列（三元组），其中每个位置上的元素要么是 $H$（正面），要么是 $T$（反面），共有$2^3=8$个元素
• $X(t,\omega )$ 表示第 $t$ 次抛掷的结果
• 公式：
  X : T × Ω → { 0 , 1 } , ( t , ω ) ↦ X ( t , ω ) X: T \times \Omega \to \{0,1\},\quad (t, \omega) \mapsto X(t, \omega) X:T×Ω→{0,1},(t,ω)↦X(t,ω)
  • 若 $\omega =(H,T,H)$，则：
    • $X(1,\omega )=1$
    • $X(2,\omega )=0$
    • $X(3,\omega )=1$

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四、总结

• 随机过程是一族随机变量 { X t } t ∈ T \{X_t\}_{t \in T} {Xt​}t∈T​；
• 每个 $X_t$ 是 $X$ 在时刻 $t$ 的“切片”；
• 随机变量是随机过程在单一时点的特例。

维度	随机变量 $X:\Omega \to \mathbb{R}$	随机过程 $X:T\times \Omega \to S$
输入	只有 $\omega$（基本事件）	有 $t$ 和 $\omega$（时间 + 基本事件）
输出	单个实数（如 3.14）	依赖于时间的状态（如一条曲线）
是否含时	否	是（显式依赖时间 $t$）
数学结构	函数 $X(\omega )$	函数 $X(t,\omega )$
可测性要求	$X^{-1}(B)\in \mathcal{F}$	对每个 $t$，$X(t,\cdot {)}^{-1}(B)\in \mathcal{F}$
典型应用	单次测量、独立重复试验	时间序列、动态系统、路径依赖问题