从应力到位移：混合模式分层损伤起始点推导

本文基于复合材料断裂力学的经典理论，结合有限元分析的实际应用，为工程师和研究人员提供了一个完整的理论推导过程。

在复合材料分层损伤的模拟中，内聚力模型（Cohesive Zone Model）是我们的得力工具。它通过一个简单的物理过程描述损伤：弹性承载 → 损伤起始 → 软化退化 → 完全失效。

其中，精准定义 “损伤起始点” 至关重要。在单一模式下，这很简单：当应力达到强度，或位移达到某个临界值，损伤就开始。但现实中，材料往往处于复杂的混合模式受力状态（即同时存在张开和剪切）。这时，起始点该如何确定？

下面将一步步推导，将一个基于应力的混合模式失效准则转化为一个基于位移的、可在有限元中直接使用的临界阈值公式。

一、起点：我们已知什么？

推导始于四个基本公式，它们是整个理论的基石。

应力空间失效准则

这是判断损伤是否开始的根本法则，一个经典的二次相互作用准则：

$${\left(\frac{⟨{\tau }_3⟩}{N}\right)}^2+{\left(\frac{{\tau }_2}{S}\right)}^2+{\left(\frac{{\tau }_1}{T}\right)}^2=1\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中：

${\tau }_3$：法向应力（Mode I）

${\tau }_1,{\tau }_2$：剪切应力（Mode II, III）

$N,S,T$：对应的材料强度

$⟨\cdot ⟩$：Macaulay括号，表示只考虑拉应力（${\tau }_3>0$），压应力不引起分层。

混合模式总位移

为了描述综合的变形程度，我们定义一个总位移：

$${\delta }_m=\sqrt{{\delta }_{shear}^2+⟨{\delta }_3{⟩}^2}=\sqrt{{\delta }_1^2+{\delta }_2^2+⟨{\delta }_3{⟩}^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$
这里，${\delta }_{shear}$ 是总的剪切位移。

线性弹性关系

在损伤开始前，应力与位移成正比（胡克定律）：

$${\tau }_i=K{\delta }_i,i=1,2,3\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中 $K$ 是界面的罚刚度。

纯模式临界位移

在纯Mode I或纯剪切模式下，损伤起始时的临界位移很容易由弹性关系和强度推导出：

$${\delta }_3^o=\frac{N}{K},{\delta }_1^o={\delta }_2^o=\frac{S}{K}\text{\hspace{1em}(4)}$$
（此处假设 $S=T$，以简化推导。）

二、目标：我们要得到什么？

我们希望找到一个混合模式临界位移 ${\delta }_m^o$。当总位移 ${\delta }_m$ 达到 ${\delta }_m^o$ 时，公式(1)的失效准则恰好被满足。

此外，我们引入一个关键参数——模式混合比 $\beta$：

$$\beta =\frac{{\delta }_{shear}}{⟨{\delta }_3⟩}\text{\hspace{1em}(5)}$$
它量化了剪切变形与张开变形的比例。

$\beta =0$ 代表纯Mode I
$\beta \to \infty$ 代表纯剪切模式

我们的最终目标是推导出下面这个公式：

$${\delta }_m^o={\delta }_3^o{\delta }_1^o\sqrt{\frac{1+{\beta }^2}{({\delta }_1^o{)}^2+{\beta }^2({\delta }_3^o{)}^2}}$$

三、推导过程：从应力到位移

现在，让我们开始这段美妙的推导旅程。

第一步：将应力准则"位移化"

我们将弹性关系(3)和纯模式临界位移(4)代入应力准则(1)：

$${\left(\frac{K⟨{\delta }_3⟩}{K{\delta }_3^o}\right)}^2+{\left(\frac{K{\delta }_2}{K{\delta }_1^o}\right)}^2+{\left(\frac{K{\delta }_1}{K{\delta }_1^o}\right)}^2=1$$
消去刚度 $K$，得到：

$${\left(\frac{⟨{\delta }_3⟩}{{\delta }_3^o}\right)}^2+{\left(\frac{{\delta }_2}{{\delta }_1^o}\right)}^2+{\left(\frac{{\delta }_1}{{\delta }_1^o}\right)}^2=1\text{\hspace{1em}(6)}$$
看！我们成功地将准则转换到了位移空间。

第二步：用总剪切位移简化表达式

注意到公式(6)的后两项都与 ${\delta }_1^o$ 有关。我们利用总剪切位移 ${\delta }_{shear}=\sqrt{{\delta }_1^2+{\delta }_2^2}$ 来简化：

$${\left(\frac{{\delta }_2}{{\delta }_1^o}\right)}^2+{\left(\frac{{\delta }_1}{{\delta }_1^o}\right)}^2=\frac{{\delta }_1^2+{\delta }_2^2}{({\delta }_1^o{)}^2}=\frac{{\delta }_{shear}^2}{({\delta }_1^o{)}^2}$$
将其代入公式(6)，准则简化为一个非常简洁的形式：

$${\left(\frac{⟨{\delta }_3⟩}{{\delta }_3^o}\right)}^2+\frac{{\delta }_{shear}^2}{({\delta }_1^o{)}^2}=1\text{\hspace{1em}(7)}$$

第三步：引入模式混合比 $\beta$

根据混合比的定义 $\beta ={\delta }_{shear}/⟨{\delta }_3⟩$，我们可以得到：

$${\delta }_{shear}=\beta ⟨{\delta }_3⟩$$
现在，公式(7)中的两个变量 $⟨{\delta }_3⟩$ 和 ${\delta }_{shear}$ 通过 $\beta$ 关联了起来。

第四步：与混合模式总位移 ${\delta }_m$ 建立联系

我们的目标是找到 ${\delta }_m^o$，所以需要将公式(7)中的变量都用 ${\delta }_m$ 表示。根据总位移定义(2)：

$${\delta }_m^2={\delta }_{shear}^2+⟨{\delta }_3{⟩}^2$$
将 ${\delta }_{shear}=\beta ⟨{\delta }_3⟩$ 代入上式：

$${\delta }_m^2=(\beta ⟨{\delta }_3⟩{)}^2+⟨{\delta }_3{⟩}^2=(1+{\beta }^2)⟨{\delta }_3{⟩}^2$$
由此，我们可以解出：

$$⟨{\delta }_3{⟩}^2=\frac{{\delta }_m^2}{1+{\beta }^2}\text{\hspace{1em}(8)}$$

$${\delta }_{shear}^2={\beta }^2⟨{\delta }_3{⟩}^2=\frac{{\beta }^2{\delta }_m^2}{1+{\beta }^2}\text{\hspace{1em}(9)}$$

第五步：最终的代入与求解

将公式(8)和(9)代入我们简化后的准则(7)：

$$\frac{\left(\frac{{\delta }_m^2}{1+{\beta }^2}\right)}{({\delta }_3^o{)}^2}+\frac{\left(\frac{{\beta }^2{\delta }_m^2}{1+{\beta }^2}\right)}{({\delta }_1^o{)}^2}=1$$
提取公因式 $\frac{{\delta }_m^2}{1+{\beta }^2}$：

$$\frac{{\delta }_m^2}{1+{\beta }^2}\left(\frac{1}{({\delta }_3^o{)}^2}+\frac{{\beta }^2}{({\delta }_1^o{)}^2}\right)=1$$
现在，求解 ${\delta }_m^2$：

$${\delta }_m^2=\frac{1+{\beta }^2}{\frac{1}{({\delta }_3^o{)}^2}+\frac{{\beta }^2}{({\delta }_1^o{)}^2}}$$
为了简化这个表达式，对分子分母同乘以 $({\delta }_3^o{)}^2({\delta }_1^o{)}^2$：

$${\delta }_m^2=\frac{(1+{\beta }^2)({\delta }_3^o{)}^2({\delta }_1^o{)}^2}{({\delta }_1^o{)}^2+{\beta }^2({\delta }_3^o{)}^2}$$
最后，对等式两边取平方根，我们就得到了梦寐以求的混合模式临界位移公式：

$${\delta }_m^o={\delta }_3^o{\delta }_1^o\sqrt{\frac{1+{\beta }^2}{({\delta }_1^o{)}^2+{\beta }^2({\delta }_3^o{)}^2}}$$

四、写在最后的话

这个推导的目标在于：它将一个复杂的多轴应力相互作用问题，通过引入模式混合比 $\beta$ 和总位移 ${\delta }_m$，转化为一个可计算的、简洁的标量问题。${\delta }_m^o$ 是一个动态的门槛。它随着加载模式（即 $\beta$）的变化而平滑变化，完美地捕捉了张开和剪切变形之间的相互作用。希望通过这个详细的推导过程，能让你对混合模式分层损伤的起始预测有一个更深刻、更直观的理解。