σ 代数（σ-algebra）是测度论与概率论的核心基础结构，其本质是为了严格定义 “可测集”（或概率论中的 “事件”）而构建的集合类，确保对可数次逻辑运算（并、交、补）封闭，从而让测度（如概率、长度、面积）的计算合法且无矛盾。
设 Ω 是一个非空集合（称为 “全集” 或概率论中的 “样本空间”），Ω 的子集构成的集合类ℱ若满足以下 3 条公理，则称为 Ω 上的 σ 代数：
- 包含全集：Ω ∈ ℱ（全集必须是 “可测的”—— 比如在概率论中，“所有可能结果的集合” 本身是一个必然事件，必须被包含）。
- 对补运算封闭：若 A ∈ ℱ，则 A 的补集 Aᶜ = Ω \ A ∈ ℱ（若一个集合可测，其 “反面” 也必须可测 —— 比如 “明天降雨” 是事件，“明天不降雨” 也必须是事件）。
- 对可数并运算封闭：若 A₁, A₂, A₃, ... ∈ ℱ（可列个集合），则它们的并集∪ₙ=₁^∞ Aₙ ∈ ℱ（若可列个集合各自可测，它们的 “整体” 也必须可测 —— 比如 “周一降雨”“周二降雨”…“周日降雨” 都是事件，“一周内至少一天降雨” 也必须是事件）。
直观上，我们可能想给 Ω 的 “所有子集” 都赋予测度，但这会导致逻辑矛盾（如罗素悖论的测度版本），σ 代数的核心作用就是 “筛选出合法的可测集”，确保测度满足基本性质（如可数可加性）。
举个反例：
若 Ω 是 [0,1] 区间，若试图给 [0,1] 的 “所有子集” 都定义 “长度”（勒贝格测度），会构造出 “不可测集”（如维塔利集）—— 对这类集合，无论赋予什么长度，都会违反 “可数可加性”（即 “部分长度之和等于整体长度”）。
而 σ 代数通过封闭性公理，排除了这些 “矛盾子集”，只保留能合法定义测度的集合类。
从 3 条公理可自然推出以下常用性质，进一步确保运算的合法性：
- 包含空集：∅ ∈ ℱ推导：由公理 1（Ω ∈ ℱ）和公理 2（补集封闭），∅ = Ωᶜ ∈ ℱ（空集是全集的补集）。
- 对可数交运算封闭：若 A₁, A₂, ... ∈ ℱ，则交集∩ₙ=₁^∞ Aₙ ∈ ℱ推导：利用德摩根定律，∩ₙAₙ = (∪ₙAₙᶜ)ᶜ，结合公理 2（补集封闭）和公理 3（可数并封闭）即可证明。
- 对差集运算封闭：若 A, B ∈ ℱ，则 A \ B = A ∩ Bᶜ ∈ ℱ推导：由公理 2（Bᶜ ∈ ℱ）和性质 2（可数交封闭，此处是两个集合的交），直接可得。
σ 代数的具体形式由 Ω 的性质和实际需求决定，以下是最常用的两类：
若 Ω 是有限集（如抛硬币的 Ω={正，反}、掷骰子的 Ω={1,2,3,4,5,6}），最常用的 σ 代数是 Ω 的 “幂集”（即 Ω 的所有子集构成的集合类），记为℘(Ω)。
- 例：Ω={正，反} 的幂集 σ 代数为：ℱ = {∅, {正}, {反}, {正，反}}其中每个元素都是 “事件”：∅（不可能事件）、{正}（正面朝上）、{反}（反面朝上）、{正，反}（必然事件）。
若 Ω=ℝ（全体实数），用于定义 “长度、面积” 等勒贝格测度，最核心的 σ 代数是波莱尔 σ 代数，记为ℬ(ℝ)。
- 定义方式：由ℝ中所有 “开区间”（如 (a,b)）通过 “可数次并、交、补运算” 生成的 σ 代数。
- 包含的集合：所有开集、闭集、半开半闭集（如 [a,b)）、单点集（如 {0}）、可数个点的集合等（几乎涵盖所有日常能接触到的实数子集）。
- 应用：在微积分中，“可积函数” 的定义依赖波莱尔 σ 代数 —— 只有 “ℬ(ℝ) 可测函数” 才能进行勒贝格积分。
σ 代数是 “测度空间”（Ω, ℱ, μ）的三大要素之一（Ω：全集，ℱ：σ 代数，μ：测度），其角色是 “测度的定义域”：
- 在概率论中，测度空间就是 “概率空间”（Ω, ℱ, P）：ℱ是 “所有可观测事件的集合”，P 是定义在ℱ上的 “概率测度”（满足 P (Ω)=1）。
- 在几何测度中，测度空间可以是 “长度空间”（ℝ, ℬ(ℝ), L）：ℬ(ℝ) 是波莱尔 σ 代数，L 是 “勒贝格测度”（如 L ((a,b))=b-a，即区间长度）。
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