conv（多项式乘法）
在 MATLAB 中，conv函数原本用于计算序列的卷积，但由于多项式乘法的数学本质与卷积运算完全一致，因此它被直接用于多项式乘法：两个多项式的系数向量的卷积，就是乘积多项式的系数向量。以下结合具体示例，从数学原理到计算过程详细解释：
一、多项式乘法的本质：合并同类项
多项式乘法的核心是：将两个多项式的每一项分别相乘，再合并同次幂项的系数。
以示例中的多项式为例：
- \(p_1(x) = x + 1\)（1 次多项式，最高次幂为 \(x^1\)）
- \(p_2(x) = x + 2\)（1 次多项式，最高次幂为 \(x^1\)）
它们的乘积为：\(p_1(x) \cdot p_2(x) = (x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2\)合并同类项（同次幂的项相加）：
- \(x^2\) 项：\(x \cdot x = x^2\)（系数为 \(1 \times 1 = 1\)）
- \(x^1\) 项：\(x \cdot 2 + 1 \cdot x = 2x + x = 3x\)（系数为 \(1 \times 2 + 1 \times 1 = 3\)）
- \(x^0\) 项（常数项）：\(1 \cdot 2 = 2\)（系数为 \(1 \times 2 = 2\)）
最终乘积多项式为：\(p(x) = x^2 + 3x + 2\)，其系数向量（降幂排列）为 [1, 3, 2]。
二、卷积运算的定义：序列的加权求和
对于两个序列（向量）\(a = [a_0, a_1, \dots, a_m]\) 和 \(b = [b_0, b_1, \dots, b_n]\)，它们的卷积（full 卷积）结果是一个长度为 \(m + n + 1\) 的序列 c，其中第 k 个元素 \(c_k\) 的计算规则为：\(c_k = \sum_{i=0}^k a_i \cdot b_{k-i} \quad \text{（当 } i \text{ 超出序列长度时，对应元素视为0）}\)
三、卷积的计算步骤：“翻转→滑动→相乘→求和”
卷积的过程可拆解为 4 个核心步骤，用具体例子说明更直观。
示例：设序列 \(a = [1, 2, 3]\)（长度 \(m=3\)），\(b = [4, 5]\)（长度 \(n=2\)），计算 \(c = a * b\)。
步骤 1：翻转其中一个序列（通常翻转较短的序列）
卷积具有交换律（\(a * b = b * a\)），为方便计算，通常翻转较短的序列。这里翻转 b：原 \(b = [b_0, b_1] = [4, 5]\) → 翻转后 \(b_{\text{flip}} = [b_1, b_0] = [5, 4]\)。
步骤 2：滑动翻转后的序列，对齐元素
将翻转后的 \(b_{\text{flip}}\) 沿 a 滑动，从 “完全左偏” 到 “完全右偏”，每次滑动 1 个位置，直到所有元素对齐完毕。
滑动过程中，两个序列的 “重叠范围” 会逐渐变化，共需要滑动 \(m + n - 1 = 3 + 2 - 1 = 4\) 次（对应卷积结果的 4 个元素）。
步骤 3：每个位置计算 “相乘求和”
对每个滑动位置，计算两序列重叠元素的乘积之和，结果即为卷积序列 c 的对应元素。
详细滑动计算过程：
-
第 1 个位置（\(k=0\)）：
- 翻转后的 \(b_{\text{flip}}\) 左偏，仅 \(b_1\) 与 \(a_0\) 对齐：重叠元素：\(a_0 = 1\)，\(b_1 = 4\)（其他位置视为 0）
- 求和：\(c_0 = a_0 \cdot b_1 = 1 \times 4 = 4\)
-
第 2 个位置（\(k=1\)）：
- 向右滑动 1 位，\(b_{\text{flip}}\) 的 \(b_1\) 对齐 \(a_1\)，\(b_0\) 对齐 \(a_0\)：重叠元素：\(a_0 = 1\) 与 \(b_0 = 5\)，\(a_1 = 2\) 与 \(b_1 = 4\)
- 求和：\(c_1 = a_0 \cdot b_0 + a_1 \cdot b_1 = 1 \times 5 + 2 \times 4 = 5 + 8 = 13\)
-
第 3 个位置（\(k=2\)）：
- 再向右滑动 1 位，\(b_{\text{flip}}\) 的 \(b_1\) 对齐 \(a_2\)，\(b_0\) 对齐 \(a_1\)：重叠元素：\(a_1 = 2\) 与 \(b_0 = 5\)，\(a_2 = 3\) 与 \(b_1 = 4\)
- 求和：\(c_2 = a_1 \cdot b_0 + a_2 \cdot b_1 = 2 \times 5 + 3 \times 4 = 10 + 12 = 22\)
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第 4 个位置（\(k=3\)）：
- 最后滑动 1 位，仅 \(b_0\) 与 \(a_2\) 对齐：重叠元素：\(a_2 = 3\) 与 \(b_0 = 5\)（其他位置视为 0）
- 求和：\(c_3 = a_2 \cdot b_0 = 3 \times 5 = 15\)
结果
卷积序列 \(c = [4, 13, 22, 15]\)，即 \(a * b = [4, 13, 22, 15]\)。
四、MATLAB 中conv函数的验证
用conv函数直接计算上述例子，结果一致：
a = [1, 2, 3];
b = [4, 5];
c = conv(a, b); % 计算卷积
disp(c); % 输出：4 13 22 15五、卷积的物理意义：“加权滑动平均”
卷积的本质是一个序列对另一个序列的 “加权滤波”：
- 若将 a 视为 “输入信号”，b 视为 “滤波器的冲激响应”，则卷积 \(c = a * b\) 就是 “滤波后的输出信号”；
- 翻转序列 b 相当于 “时间反转”，滑动过程相当于 “信号在时间上的延迟”，相乘求和相当于 “对不同延迟的信号加权累加”。
例如：在图像处理中，用一个高斯核（序列 b）与图像像素（序列 a）卷积，可实现模糊效果（本质是对像素的加权平均）。
总结
卷积的核心是 “翻转→滑动→相乘→求和”，conv函数通过实现这一过程，计算两个离散序列的卷积。它不仅是多项式乘法的基础，更是信号处理、图像处理中 “加权滤波”“特征提取” 的核心工具，其本质是对序列的 “动态加权累加”。