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解决"k-avoiding 数组的最小总和"问题

这道题有两种主要解法。

解法一：直接数学计算（最优解）

通过数学推导直接计算出结果，不需要构建实际的数组。

class Solution:def minimumSum(self, n: int, k: int) -> int:# 特殊情况：当k很大或k=1时，可以直接选择前n个正整数if k > 2*n or k <= 1:return n * (n + 1) // 2half_k = k // 2chosen_count = min(n, half_k)# 计算前half_k个数的和first_sum = chosen_count * (chosen_count + 1) // 2# 如果已经选择了n个数，直接返回结果if chosen_count == n:return first_sum# 否则，计算从k开始的剩余数字的和remaining_count = n - chosen_countstart = kend = k + remaining_count - 1remaining_sum = (start + end) * remaining_count // 2return first_sum + remaining_sum

思路解析：

1. 需要找到n个不同的正整数，使得没有两个数的和等于k，且总和最小。
2. 为了最小化总和，总是尝试包含尽可能小的正整数。
3. 对于任何一个数x，不能同时包含x和k-x（否则它们的和就是k）。
4. 当x < k/2时，x < k-x，所以为了最小化总和，应该选择x而不是k-x。
5. 因此，可以安全地包含1到k/2的所有数。
6. 对于k/2 < x < k的数，它们的互补数k-x已经在选择的集合中（因为k-x < k/2），所以必须跳过这些数。
7. 对于x ≥ k的数，它们的互补数k-x ≤ 0，不在正整数集合中，所以可以安全包含。

时间复杂度：O(1)，只需要进行简单的数学计算。
空间复杂度：O(1)，只使用常数空间。

解法二：贪心方法 + 集合

通过维护一个集合，贪心地选择最小的可行数字：

class Solution:def minimumSum(self, n: int, k: int) -> int:s = set()num = 1while len(s) < n:if k - num not in s:s.add(num)num += 1return sum(s)

思路解析：

1. 维护一个已选择数字的集合s。
2. 从1开始，尝试将每个数字加入序列。
3. 对于每个数字num，检查其互补数(k-num)是否已在集合中。如果不在，则可以加入num。
4. 继续此过程直到集合中有n个数字。

时间复杂度：O(n)，最多需要检查2n个数字。
空间复杂度：O(n)，需要存储n个数字。

示例分析

以示例1为例，n=5, k=4：

• 解法一中，half_k = 2，首先选择1和2。
• 然后跳过3（因为4-3=1，而1已经在集合中）。
• 然后从4开始选择剩余的数字：4,5,6。
• 最终序列是[1,2,4,5,6]，总和为18。

两种解法都能得到正确结果，但第一种解法更高效，时间复杂度为常数级。