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一、单项选择题

1．下列叙述能作为“算法必须具备的基本特性”之一的是（ ）。
A．对任意输入都能在有限步内结束（有穷性）
B．执行步骤可以随心所欲地改变
C．必须含有至少一个递归过程
D．必须使用某种特定编程语言描述

2．下列过程不能称为算法的是（ ）。
A．无输入时直接输出常数 1
B．对给定 $n$，若 $n=0$ 输出 0，否则输出 1
C．反复随机选择数组中的两个元素交换，直到“看起来有序”为止
D．对给定整数 $n$，输出其二进制表示

3．关于“算法与程序”的关系，下列说法正确的是（ ）。
A．算法依赖具体语言，语言不同算法也不同
B．同一算法可用不同语言实现为不同程序
C．程序与算法完全等价
D．算法只描述数据，程序只描述操作

4．已知以下渐近复杂度从小到大的正确顺序是（ ）。
A．$O(n)＜O(\log n)＜O(1)＜O(n\log n)$
B．$O(1)＜O(\log n)＜O(n)＜O(n\log n)$
C．$O(\log n)＜O(1)＜O(n)＜O(n^2)$
D．$O(1)＜O(n)＜O(\log n)＜O(n^2)$

5．给定程序段：

cnt = 0;
for (i = 1; i <= n; ++i)for (j = 1; j <= n; j *= 2)++cnt;

其最坏情况时间复杂度为（ ）。
A．$O(\log n)$ B．$O(n)$ C．$O(n\log n)$ D．$O(n^2)$

6．给定程序段：

cnt = 0;
for (i = 1; i <= n; i *= 2)for (j = i; j <= n; j += i)++cnt;

其最坏情况时间复杂度为（ ）。
A．$O(\log n)$ B．$O(n)$ C．$O(n\log n)$ D．$O(n^2)$

7．对长度为 $n$ 的有序数组进行递归二分查找，其最坏时间复杂度与辅助空间复杂度分别为（ ）。
A．$O(\log n)$，$O(1)$
B．$O(n)$，$O(1)$
C．$O(\log n)$，$O(\log n)$
D．$O(n)$，$O(\log n)$

8．对无序数组进行顺序查找，下列说法正确的是（ ）。
A．最好、最坏、平均情形的时间复杂度都为 $O(n)$
B．最好为 $O(1)$，最坏为 $O(n)$，平均约为 $O(n)$
C．最好为 $O(n)$，最坏为 $O(1)$，平均为 $O(\log n)$
D．最好为 $O(1)$，最坏为 $O(\log n)$，平均为 $O(\log n)$

9．使用哈希表将查找从 $O(\log n)$ 降到期望 $O(1)$ 的主要代价是（ ）。
A．牺牲算法的确定性
B．增加辅助空间的使用
C．降低输入规模
D．必须改用递归实现

10．将规模较大的问题分解为若干规模较小但结构相同的子问题，分别求解后再合并结果的设计思想是（ ）。
A．穷举法 B．递归法 C．分治法 D．贪心法

二、综合应用题

01．（概念与度量的基础练习）
（1）下列两个过程是否都可称为算法？请分别指出是否满足或缺少“五大特性”中的哪一项，并给出一句话理由。
A．对数组 $A$ 随机选择下标 $i$，若 $A[i]=k$ 则返回 $i$，否则重复该步骤。
B．输入 $n$（$n\ge 0$），若 $n=0$ 返回 1，否则返回 $n\times \mathrm{fact}(n-1)$。

（2）分析下列程序段的最坏情况时间复杂度与辅助空间复杂度（用 $O(\cdot )$ 表示）：

int f(int n){int s = 0;for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = 1; j <= i; ++j)++s;return s;
}

要求：给出结论并用 1～2 句话说明推导依据（如“嵌套求和 ${\sum }_{i=1}^{n}i$”等）。

单项选择题（答案与解析）

1．解析：A。
算法必须具备有穷性、确定性、可行性、输入性、输出性五特性。“对任意输入都能在有限步内结束”对应有穷性；B 违背确定性；C 并非必须递归；D 不要求特定语言。

2．解析：C。
“随机交换直到看起来有序”为止既不保证有穷性，又缺少确定性；A、B、D 都能在有限步内给出确定输出。

3．解析：B。
算法是解决问题的思想与步骤，可用不同语言实现为不同程序而保持逻辑一致；A、C、D 对算法与程序的关系理解错误。

4．解析：B。
常见复杂度从小到大：$O(1)<O(\log n)<O(n)<O(n\log n)<O(n^2)<\cdots$。因此选 B。

5．解析：C。
外层循环 $n$ 次；内层每次从 $1$ 乘二到 $\le n$，次数为 $\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$，总操作约为 $n\cdot \log n$，故为 $O(n\log n)$。

6．解析：B。
外层 $i=1,2,4,\dots \le n$；对给定 $i$ 内层次数 $\lfloor n/i\rfloor$。总工作量

$$\sum _{k=0}^{\lfloor {\log }_{2}n\rfloor }\lfloor \frac{n}{2^k}\rfloor \le 2n,$$

故为 $O(n)$。

7．解析：C。
递归二分查找最坏时间 $O(\log n)$；递归深度为 $\lceil {\log }_{2}n\rceil$，需要相应栈空间，空间为 $O(\log n)$。迭代版可降为 $O(1)$ 空间，但题干指定“递归”。

8．解析：B。
顺序查找最好命中首元素为 $O(1)$，最坏未命中或在尾部为 $O(n)$，平均比较次数约 $(n+1)/2$，量级为 $O(n)$。

9．解析：B。
用哈希表把查找期望降到 $O(1)$ 的代价是增加辅助空间（表与桶等），体现时间—空间权衡。A、C、D 与本质无关。

10．解析：C。
“分解→递归求解→合并”的套路即分治法。穷举法是枚举所有可能；递归法是实现形式，不一定有“分治”的分解与合并；贪心法与题意不符。

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综合应用题（答案与解析）

01．（概念与度量的基础练习）

（1）判定是否为算法：
A．不是算法。缺少有穷性（可能无限重复，无法保证终止）与确定性（随机选择导致对同一输入结果不唯一）。
B．是算法。满足五特性：有输入 $n$，有输出 $\mathrm{fact}(n)$；每步明确且确定；有递归出口 $n=0$ 保证有穷性；操作（乘、减一、比较）均可行。

（2）复杂度分析：
代码总计执行自增语句的次数为

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i}1=\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}=\Theta (n^2),$$

故最坏时间复杂度为 $O(n^2)$。仅使用常数个局部变量（$s,i,j$），无与 $n$ 相关的额外结构，辅助空间复杂度为 $O(1)$。