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【11408学习记录】考研数学突破:掌握二次型定义及其矩阵表达

二次型

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    • 线性代数
      • 二次型的定义及其矩阵表达式
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    • 每日一句
      • 词汇
      • 第一步:找谓语
      • 第二步:断句
      • 第三步:简化
        • 主句1
        • 主句2
        • 宾语从句1
        • 宾语从句2
        • 比较状语从句

2025.07.27

数学

线性代数

二次型的定义及其矩阵表达式

n 元变量 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \cdots, x_n x1,x2,,xn 的二次齐次多项式:

f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = a 11 x 1 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + ⋯ + 2 a 1 n x 1 x n + a 22 x 2 2 + ⋯ + 2 a 2 n x 2 x n + ⋯ + a n n x n 2 f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \cdots + 2a_{1n}x_1x_n \\ {+} a_{22}x_2^2 + \cdots + 2a_{2n}x_2x_n \\ {+} \cdots \\ {+} a_{nn}x_n^2 f(x1,x2,,xn)=a11x12+2a12x1x2++2a1nx1xn+a22x22++2a2nx2xn++annxn2

称为n元二次型,简称二次型.

考研只研究系数 a i j ∈ R ( i ≤ j ; i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{ij} \in R(i \leq j; i, j = 1, 2, \cdots, n) aijR(ij;i,j=1,2,,n) 的情况,故称此二次型 f f f 为实二次型.

因为 x i x j = x j x i x_ix_j = x_jx_i xixj=xjxi ,若令 a i j = a j i ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{ij} = a{ji}(i, j = 1, 2, \cdots, n) aij=aji(i,j=1,2,,n) ,则 2 a i j x i x j = a i j x i x j + a j i x j x i 2a_{ij}x_ix_j = a_{ij}x_ix_j + a_{ji}x_jx_i 2aijxixj=aijxixj+ajixjxi ,于是:

f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = a 11 x 1 2 + a 12 x 1 x 2 + ⋯ + a 1 n x 1 x n + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 2 + ⋯ + a 2 n x 2 x n + ⋯ + a n 1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + ⋯ + a n n x n 2 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j \begin{align} f(x_1, x_2, \cdots, x_n) &= a_{11}x_1^2 + a_{12}x_1x_2 + \cdots + a_{1n}x_1x_n \\ \notag &+ a_{21}x_2x_1 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{2n}x_2x_n \\ \notag &+ \cdots \\ \notag &+ a_{n1}x_nx_1 + a_{n2}x_nx_2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 \\ &= \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j \end{align} f(x1,x2,,xn)=a11x12+a12x1x2++a1nx1xn+a21x2x1+a22x22++a2nx2xn++an1xnx1+an2xnx2++annxn2=i=1nj=1naijxixj

其中(1)式称为完全展开式,(2)式称为和式,令:

A T = A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] , x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] A^T = A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} , x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} AT=A= a11a21an1a12a22an2a1na2nann ,x= x1x2xn

其中 A A A 为实对称矩阵,则二次型可表示为: f ( x ) = x T A x f(x) = x^TAx f(x)=xTAx .

f ( x ) = x T A x f(x) = x^TAx f(x)=xTAx 称为二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) f(x_1, x_2, \cdots, x_n) f(x1,x2,,xn) 的矩阵表达式,实对称矩阵 A A A 称为二次型 f ( x ) f(x) f(x) 的矩阵.

英语

每日一句

Young and old converge on one key point: Overwhelming majorities of both groups said they believe it is harder for young people today to get started in life than it was for earlier generations.(2016, Reading Comprehension, Part A Text 4)

词汇

converge: v. (观点或目标)趋同;(线条、运动的物体等)会于一点
overwhelming: adj. 势不可挡的,压倒一切的;巨大的
overwhelming majorities of ……: 绝大多数的

第一步:找谓语

Young and old converge on one key point: Overwhelming majorities of both groups said they believe it is harder for young people today to get started in life than it was for earlier generations.

第二步:断句

原句中存在5处谓语,包含5件事,其谓语分别分布在以下位置:

  • converge 为冒号前的主句谓语
  • said 为冒号后的主句谓语
  • believe 为省略了引导词 that 的宾语从句谓语
  • is 为省略了引导词:that 的宾语从句谓语
  • was 为引导词:than 引导的比较状语从句谓语

按照标点、引导词以及谓语可以将原句断开为以下分句:

  • Young and old converge on one key point: —— 主句1
  • Overwhelming majorities of both groups said —— 主句2
  • they believe —— 宾语从句1
  • it is harder for young people today to get started in life—— 宾语从句2
  • than it was for earlier generations. —— 比较状语从句

第三步:简化

主句1

Young and old converge on one key point:

  • 主句主语部分:Young and old 为形容词并列结构,这里表示两类人
  • 主句谓语部分:converge 为不及物动词
  • 介词短语:on one key point 作对象状语,说明动作发生的对象
    • 数词:one 与名词:key 共同修饰名词:point
    • 名词:point 为介词:on 的宾语

去掉主句扩展部分,就得到了主句核心:

  • young and old converge …… —— 年轻人与老年人趋同……
主句2

Overwhelming majorities of both groups said

  • 主句主语部分:Overwhelming majorities of both groups
    • 形容词:overwhelming 修饰名词:majorities
    • 名词:majorities 为主句主语核心词
    • 介词短语:of both groups 为后置定语,说明名词:majorities 的具体范围
      • 形容词:both 修饰名词:groups
      • 名词:groups 为介词:of 的宾语
  • 主句谓语部分:said

去掉主句扩展部分,就得到了主句核心:

  • …… majorities …… said —— ……大多数的 …… 说
宾语从句1

they believe

  • 从句引导词:that 引导宾语从句,作动词:said的宾语,引导词在此处被省略
  • 从句主语部分:they
  • 从句谓语部分:believe

去掉从句扩展部分,就得到了从句核心:

  • they believe —— 他们相信
宾语从句2

it is harder for young people today to get started in life

  • 从句引导词:that 引导宾语从句,作动词:believe 的宾语,引导词在此处被省略
  • 从句主语部分:it 作为该从句的形式主语
    • 从句真正的主语为动词不定式短语:to get started
  • 从句谓语部分:is 为系动词,后接表语
  • 从句表语部分:harder 为形容词比较级作表语
  • 介词短语:for young people today 为对象状语,修饰从句,说明从句的对象
    • 形容词:young 修饰名词:people
    • 名词:people 为介词:for 的宾语
    • 名词:today 为后置定语,修饰名词:people,说明是今天的人们
  • 介词短语:in life 为范围状语,修饰从句,表示从句的具体范围

去掉从句的扩展部分,就得到了从句的核心:

  • it is harder …… to get started …… —— …… 开始是更加困难的……
比较状语从句

than it was for earlier generations.

  • 从句引导词:than 引导比较状语从句,修饰前面的宾语从句,说明具体的比较对象
  • 从句主语部分:it
  • 从句谓语部分:was 为系动词,后接表语
  • 介词短语:for earlier generations 为对象状语,修饰整个从句,说明比较的具体对象
    • 形容词比较级:earlier 修饰名词:generations
    • 名词:generations 为介词:for 的宾语

去掉从句的扩展部分,就得到了从句核心:

  • than it was …… —— 比起它是……
http://www.dtcms.com/a/492094.html

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