【11408学习记录】考研数学突破:掌握二次型定义及其矩阵表达
二次型
- 数学
- 线性代数
- 二次型的定义及其矩阵表达式
- 英语
- 每日一句
- 词汇
- 第一步:找谓语
- 第二步:断句
- 第三步:简化
- 主句1
- 主句2
- 宾语从句1
- 宾语从句2
- 比较状语从句
数学
线性代数
二次型的定义及其矩阵表达式
n 元变量 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \cdots, x_n x1,x2,⋯,xn 的二次齐次多项式:
f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = a 11 x 1 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + ⋯ + 2 a 1 n x 1 x n + a 22 x 2 2 + ⋯ + 2 a 2 n x 2 x n + ⋯ + a n n x n 2 f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \cdots + 2a_{1n}x_1x_n \\ {+} a_{22}x_2^2 + \cdots + 2a_{2n}x_2x_n \\ {+} \cdots \\ {+} a_{nn}x_n^2 f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+2a12x1x2+⋯+2a1nx1xn+a22x22+⋯+2a2nx2xn+⋯+annxn2
称为n元二次型,简称二次型.
考研只研究系数 a i j ∈ R ( i ≤ j ; i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{ij} \in R(i \leq j; i, j = 1, 2, \cdots, n) aij∈R(i≤j;i,j=1,2,⋯,n) 的情况,故称此二次型 f f f 为实二次型.
因为 x i x j = x j x i x_ix_j = x_jx_i xixj=xjxi ,若令 a i j = a j i ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{ij} = a{ji}(i, j = 1, 2, \cdots, n) aij=aji(i,j=1,2,⋯,n) ,则 2 a i j x i x j = a i j x i x j + a j i x j x i 2a_{ij}x_ix_j = a_{ij}x_ix_j + a_{ji}x_jx_i 2aijxixj=aijxixj+ajixjxi ,于是:
f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = a 11 x 1 2 + a 12 x 1 x 2 + ⋯ + a 1 n x 1 x n + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 2 + ⋯ + a 2 n x 2 x n + ⋯ + a n 1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + ⋯ + a n n x n 2 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j \begin{align} f(x_1, x_2, \cdots, x_n) &= a_{11}x_1^2 + a_{12}x_1x_2 + \cdots + a_{1n}x_1x_n \\ \notag &+ a_{21}x_2x_1 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{2n}x_2x_n \\ \notag &+ \cdots \\ \notag &+ a_{n1}x_nx_1 + a_{n2}x_nx_2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 \\ &= \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j \end{align} f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+a12x1x2+⋯+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+⋯+a2nx2xn+⋯+an1xnx1+an2xnx2+⋯+annxn2=i=1∑nj=1∑naijxixj
其中(1)式称为完全展开式,(2)式称为和式,令:
A T = A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] , x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] A^T = A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} , x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} AT=A= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann ,x= x1x2⋮xn
其中 A A A 为实对称矩阵,则二次型可表示为: f ( x ) = x T A x f(x) = x^TAx f(x)=xTAx .
f ( x ) = x T A x f(x) = x^TAx f(x)=xTAx 称为二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) f(x_1, x_2, \cdots, x_n) f(x1,x2,⋯,xn) 的矩阵表达式,实对称矩阵 A A A 称为二次型 f ( x ) f(x) f(x) 的矩阵.
英语
每日一句
Young and old converge on one key point: Overwhelming majorities of both groups said they believe it is harder for young people today to get started in life than it was for earlier generations.(2016, Reading Comprehension, Part A Text 4)
词汇
converge: v. (观点或目标)趋同;(线条、运动的物体等)会于一点
overwhelming: adj. 势不可挡的,压倒一切的;巨大的
overwhelming majorities of ……: 绝大多数的
第一步:找谓语
Young and old converge on one key point: Overwhelming majorities of both groups said they believe it is harder for young people today to get started in life than it was for earlier generations.
第二步:断句
原句中存在5处谓语,包含5件事,其谓语分别分布在以下位置:
- converge 为冒号前的主句谓语
- said 为冒号后的主句谓语
- believe 为省略了引导词 that 的宾语从句谓语
- is 为省略了引导词:that 的宾语从句谓语
- was 为引导词:than 引导的比较状语从句谓语
按照标点、引导词以及谓语可以将原句断开为以下分句:
- Young and old converge on one key point: —— 主句1
- Overwhelming majorities of both groups said —— 主句2
- they believe —— 宾语从句1
- it is harder for young people today to get started in life—— 宾语从句2
- than it was for earlier generations. —— 比较状语从句
第三步:简化
主句1
Young and old converge on one key point:
- 主句主语部分:Young and old 为形容词并列结构,这里表示两类人
- 主句谓语部分:converge 为不及物动词
- 介词短语:on one key point 作对象状语,说明动作发生的对象
- 数词:one 与名词:key 共同修饰名词:point
- 名词:point 为介词:on 的宾语
去掉主句扩展部分,就得到了主句核心:
- young and old converge …… —— 年轻人与老年人趋同……
主句2
Overwhelming majorities of both groups said
- 主句主语部分:Overwhelming majorities of both groups
- 形容词:overwhelming 修饰名词:majorities
- 名词:majorities 为主句主语核心词
- 介词短语:of both groups 为后置定语,说明名词:majorities 的具体范围
- 形容词:both 修饰名词:groups
- 名词:groups 为介词:of 的宾语
- 主句谓语部分:said
去掉主句扩展部分,就得到了主句核心:
- …… majorities …… said —— ……大多数的 …… 说
宾语从句1
they believe
- 从句引导词:that 引导宾语从句,作动词:said的宾语,引导词在此处被省略
- 从句主语部分:they
- 从句谓语部分:believe
去掉从句扩展部分,就得到了从句核心:
- they believe —— 他们相信
宾语从句2
it is harder for young people today to get started in life
- 从句引导词:that 引导宾语从句,作动词:believe 的宾语,引导词在此处被省略
- 从句主语部分:it 作为该从句的形式主语
- 从句真正的主语为动词不定式短语:to get started
- 从句谓语部分:is 为系动词,后接表语
- 从句表语部分:harder 为形容词比较级作表语
- 介词短语:for young people today 为对象状语,修饰从句,说明从句的对象
- 形容词:young 修饰名词:people
- 名词:people 为介词:for 的宾语
- 名词:today 为后置定语,修饰名词:people,说明是今天的人们
- 介词短语:in life 为范围状语,修饰从句,表示从句的具体范围
去掉从句的扩展部分,就得到了从句的核心:
- it is harder …… to get started …… —— …… 开始是更加困难的……
比较状语从句
than it was for earlier generations.
- 从句引导词:than 引导比较状语从句,修饰前面的宾语从句,说明具体的比较对象
- 从句主语部分:it
- 从句谓语部分:was 为系动词,后接表语
- 介词短语:for earlier generations 为对象状语,修饰整个从句,说明比较的具体对象
- 形容词比较级:earlier 修饰名词:generations
- 名词:generations 为介词:for 的宾语
去掉从句的扩展部分,就得到了从句核心:
- than it was …… —— 比起它是……