互素最多：任意五个整数互素的巧妙构造

问题描述

今天我们一起来啃一道看似简单却暗藏玄机的数论题：

题目：若从 $1，2，3，\dots ，n$ 中任取 5 个两两互素的不同的整数 $a_1，a_2，a_3，a_4，a_5$，总有一个整数是素数，求正整数 $n$ 的最大值。（2011 年全国初中数学竞赛）

通俗版翻译：在一串连续数字里找5个"互相看不顺眼"的数（两两互素），如果必须带个素数"入场券"，这串数字最长能有多长？

破题思路

第一步：理解题意

首先我们要明确几个关键信息：

1. 两两互素：任意两个数最大公约数为1（比如4和9互素，但4和6不互素）
2. 求n的最大值：找到最大的n满足上述条件

第二步：逆向思考

这类极值问题通常需要构造反例法：先猜一个可能的n值，再验证是否满足条件．

第三步：寻找突破口

观察到：

• 小范围内容易满足条件（比如n=10时，随便取5个数很难避开素数）
• 大范围内可能构造出全合数的互素组合

关键推导

反例构造法

尝试n≥49的情况：
取 $1，4，9，25，49$ 这五个数：

• 1与任何数互素
• 4($2^2$)，9($3^2$)，25($5^2$)，49($7^2$)两两互素（因为底数都是不同素数）
• 全是合数！

这说明当 $n\ge 49$ 时，存在不含素数的5个互素整数组合，不满足题意．

临界值验证

验证n=48：
假设存在5个两两互素的数都不含素数，那么它们至少包含4个合数（因为1不是素数也不是合数）．

设这4个合数为 $a_1,a_2,a_3,a_4$，它们的最小素因数分别为 $p_1,p_2,p_3,p_4$（因为合数必有素因数）．

由于这些数两两互素，所以 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 必须互不相同．设最大的 $p_i\ge 7$（因为前4个素数是2,3,5,7）．

但是：
$$a_i\ge p_i^2\ge 7^2=49$$
这与 $n=48$ 矛盾（因为所有数≤48）．

结论：当n=48时，任何5个两两互素的数中必含素数．

解题策略总结

这类"强制包含性质"的极值问题，通常可以按照以下步骤解决：

1. 构造反例：尝试构造不满足条件的组合，找到临界值
2. 证明必要性：在临界值以下证明无法构造反例
3. 验证充分性：确认临界值确实满足条件