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SAR信号处理重要工具-傅里叶变换（二）

news 2025/10/16 10:50:41

系列文章目录

《SAR信号处理重要工具-傅里叶变换》

文章目录

系列文章目录

文章目录

前言

一、傅里叶变换及离散傅里叶变换

1.1、傅里叶变换

1.2、离散傅里叶变换

二、常见信号的变换结果

2.1、矩形信号

2.2、单频信号

2.3、线性调频信号

三、仿真分析

2.1、矩形信号

2.2、单频信号

2.3、线性调频信号

总结

前言

本文详细推导了矩形脉冲信号、单频脉冲信号以及线性调频率信号的离散傅里叶变换结果，并结合仿真对比了理论公式与实际结果的幅度差异以及相位差异，并基于FFT实现对这三类信号关键参数的估计。

一、傅里叶变换及离散傅里叶变换

1.1、傅里叶变换

模拟信号 $f\left ( t \right )$ 傅里叶变换为：

$F\left ( \omega \right )=\int f\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1)$

对应的逆变换为：

$f\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int F\left ( \omega \right )e^{j\omega t}dt\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2)$

其中 $\omega$ 为模拟频率，模拟信号 $f\left ( t \right )$ 的频谱是信号频谱分析最终想得到的。

1.2、离散傅里叶变换

对离散信号 $x =f\left ( t \right ) \sum_{m} \delta \left ( t-mT_{s} \right )$ 周期化得：

$x_{p} =\left (f\left ( t \right ) \sum_{m} \delta \left ( t-mT_{s} \right ) \right ) \ast \sum_{k} \delta \left ( t-kT\right )\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (3)$

对离散周期信号 $x_{p}$ 傅里叶变换得

$X\left [ k \right ]=\sum_{n=0 }^{N-1 }x_{p}\left ( n \right )e^{-j2\pi k n/N}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (4)$

对应的逆变换：

$x_{p}\left [ n \right ]=\frac{1}{N}\sum_{k=0 }^{N-1 }X\left [ k \right ]e^{j2\pi k n/N}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (5)$

由定义有：

$X\left [ k \right ]=\frac{1}{T_{s}}F\left (\frac{2\pi }{N}k /T_{s} \right )\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (6)$

二、常见信号的变换结果

2.1、矩形信号

考虑矩形信号为

$f\left ( t \right )=A\text{rect}\left(\frac{t}{T_w} \right )\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (7)$

其中 $T_{w}$ 表示信号持续时间， $t\in \left ( -T/2,T/2 \right )$

由公式（1)可以得到矩形信号傅里叶变换结果为

$F\left ( \omega \right )=\int_{-\frac{T_w}{2}}^{\frac{T_w}{2}}Ae^{-j\omega t}dt=A\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}|_{-\frac{T_w}{2}}^{\frac{T_w}{2}}=A\frac{e^{-j\omega \frac{T_w}{2}}-e^{j\omega \frac{T_w}{2}}}{-j\omega}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (8)$

考虑 $e^{j\alpha }=\cos \alpha +j\sin\alpha$ ，因此

$F\left ( \omega \right )=A\frac{e^{-j\omega \frac{T_w}{2}}-e^{j\omega \frac{T_w}{2}}}{-j\omega}=AT_w\frac{\sin \left ( \omega \frac{T_w}{2} \right )}{\omega \frac{T_w}{2}}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (9)$

由公式（1)，当 $\omega =0$ 时， $F\left ( 0 \right )=\int_{-\frac{T_w}{2}}^{\frac{T_w}{2}} A dt=AT_w$ ，能够快速验证了公式（9）的幅度正确性。

考虑离散矩形信号是由公式（7）采样获得，采样率 $f_s$ ，采样间隔为 $T_s$ ，采样点数为 $N=f_s T$ ，信号持续点数 $N_{w}=f_s T_w$ ，由公式（4）得到离散矩形信号的离散傅里叶变换结果为

$X\left [ k \right ]=\sum_{n=\frac{N-N_w}{2} }^{\frac{N+N_w}{2}-1 }Ae^{-j2\pi k n/N}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (10)$

由等比数列求和公式可得

$X\left [ k \right ]=\sum_{n=\frac{N-N_w}{2} }^{\frac{N+N_w}{2}-1 }Ae^{-j2\pi n \frac{k}{N}}=Ae^{-j\pi \left ( N-N_w \right ) \frac{k}{N}}\frac{1-e^{-j2\pi N_w \frac{k}{N}}}{1-e^{-j2\pi \frac{k}{N}}}=Ae^{-j\pi \left ( N-N_w \right ) \frac{k}{N}}\frac{e^{-j\pi N_w \frac{k}{N}}(e^{j\pi N_w \frac{k}{N}}-e^{-j\pi N_w \frac{k}{N}})}{e^{-j\pi \frac{k}{N}}(e^{j\pi \frac{k}{N}}-e^{-j\pi \frac{k}{N}})}=Ae^{-j\pi \left ( N-1 \right ) \frac{k}{N}}\frac{\sin{(\pi N_w \frac{k}{N})}}{\sin{(\pi \frac{k}{N})}}\approx AN_we^{-j\pi \left (N-1 \right ) \frac{k}{N} }\frac{\sin{(\pi N_w \frac{k}{N})}}{\pi N_w \frac{k}{N}}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (11)$

由公式（9）和公式（11）可以看出傅里叶变换结果和离散傅里叶变换结果的幅度相差 $f_s$ ，此外离散傅里叶变换信号的起始时刻默认为0，与模拟信号的起始时刻无关，因此公式（11）的结果包含模拟信号起始时刻不为0带来的固定相位项。

2.2、单频信号

考虑单频脉冲信号

$f\left ( t \right )=Ae^{j\omega_c t}\text{rect}\left(\frac{t}{T_w} \right )\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (12)$

其中 $f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}$ 为频率， $T_{w}$ 表示信号持续时间， $t\in \left ( -T/2,T/2 \right )$

由公式（1)可以得到单频脉冲信号傅里叶变换结果为

$F\left ( \omega \right )=\int_{-\frac{T_w}{2}}^{\frac{T_w}{2}}Ae^{-j(\omega -\omega _c)t}dt=A\frac{e^{-j(\omega -\omega _c) \frac{T_w}{2}}-e^{j(\omega -\omega _c) \frac{T_w}{2}}}{-j(\omega -\omega _c)}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (13)$

考虑 $e^{j\alpha }=\cos \alpha +j\sin\alpha$ ，因此

$F\left ( \omega \right )=A\frac{e^{-j(\omega -\omega _c) \frac{T_w}{2}}-e^{j(\omega -\omega _c) \frac{T_w}{2}}}{-j(\omega -\omega _c)}=AT_w\frac{\sin \left ((\omega -\omega _c) \frac{T_w}{2} \right )}{(\omega -\omega _c)\frac{T_w}{2}}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (14)$

由公式（1)，当 $\omega =\omega_c$ 时， $F\left ( \omega_c \right )=\int_{-\frac{T_w}{2}}^{\frac{T_w}{2}} A dt=AT_w$ ，能够快速验证了公式（13）的幅度正确性。

$X\left [ k \right ]=\sum_{n=\frac{N-N_w}{2} }^{\frac{N+N_w}{2}-1 }Ae^{j2\pi f_cn/f_s}e^{-j2\pi k n/N}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (15)$

由等比数列求和公式可得

$X\left [ k \right ]=\sum_{n=\frac{N-N_w}{2} }^{\frac{N+N_w}{2}-1 }Ae^{-j2\pi n \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}=Ae^{-j\pi \left ( N-N_w \right ) \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}\frac{1-e^{-j2\pi N_w \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}}{1-e^{-j2\pi \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}}=Ae^{-j\pi \left ( N-N_w \right ) \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}\frac{e^{-j\pi N_w \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}\left[e^{j\pi N_w \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}-e^{-j\pi N_w \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}\right]}{e^{-j\pi \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}\left[e^{j\pi \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}-e^{-j\pi \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}\right]}=Ae^{-j\pi \left ( N-1 \right ) \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}\frac{\sin{\left[\pi N_w \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )\right]}}{\sin{\left[\pi \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )\right]}}\approx AN_we^{-j\pi \left (N-1 \right ) \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right ) }\frac{\sin{\left[\pi N_w \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s}\right )\right]}}{\pi N_w \left ( \frac{k}{N}-\frac{f_c}{f_s} \right )}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (16)$

由公式（14）和公式（16）可以看出傅里叶变换结果和离散傅里叶变换结果的幅度相差 $f_s$ ，此外离散傅里叶变换信号的起始时刻默认为0，与模拟信号的起始时刻无关，因此公式（11）的结果包含模拟信号起始时刻不为0带来的固定相位项。对比公式（11）和公式（16），发现信号频谱发生了频移现象，初步验证了傅里叶变换的频移性质。

2.3、线性调频信号

考虑线性调频脉冲信号

$f\left ( t \right )=Ae^{j\pi K_r t^2}\text{rect}\left(\frac{t}{T_w} \right )\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (17)$

其中 $K_r$ 为调频率参数， $T_{w}$ 表示信号持续时间， $t\in \left ( -T/2,T/2 \right )$

由公式（1)可以得到线性调频脉冲信号傅里叶变换结果为

$F\left ( f \right )=\int_{-\frac{T_w}{2}}^{\frac{T_w}{2}}Ae^{j\pi K_r t^2}e^{-j2\pi f t}dt\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (18)$

积分相位表达式为：

$\Phi \left ( t \right )=\pi K_r t^2-2\pi f t\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (19)$

积分相位求导置零，求解信号幅度平稳时的时频耦合关系

$\frac{\partial \Phi \left ( t \right )}{\partial t}|_{t=t_f}=2\pi K_r t_f-2\pi f =0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (20)$

得到

$t_f=\frac{f}{ K_r}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (21)$

${\Phi}' \left ( t_f \right )=0,{\Phi }''\left ( t_f \right )=2\pi K_r$ 将积分相位在 $t_f$ 处进行泰勒展开，忽略高阶项得

$\Phi \left ( t \right )=\Phi \left ( t_f \right )+\frac{2 \pi K_r}{2}\left ( t-t_f \right )^2\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (22)$

根据驻定相位原理，积分接近于0，积分时间t在 $t_f$ 附近取值才能有效积分，因此

$F\left ( f \right )=\int_{t_f-\delta}^{t_f+\delta}Ae^{j\left ( \Phi \left ( t \right )\right )}dt\approx Ae^{j\Phi \left ( t_f \right )}\int_{t_f-\delta}^{t_f+\delta}e^{j\pi K_r\left ( t-t_f \right )^2}dt\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (23)$

令 $u=t-t_f$ ，则

$F\left ( f \right )= Ae^{j\Phi \left ( t_f \right )}\int_{-\delta}^{\delta}e^{j\pi K_r u^2}du= 2Ae^{j\Phi \left ( t_f \right )}\int_{0}^{\delta}e^{j\pi K_r u^2}du\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (24)$

令 $u=\frac{ v}{\sqrt{2\left |K_r \right |}}$ ， $du=\frac{1}{\sqrt{ 2\left |K_r \right |}}dv$ ，则

$F\left ( f \right )= 2A\frac{1}{\sqrt{ 2\left |K_r \right |}}e^{j\Phi \left ( t_f \right )}\int_{0}^{\sqrt{ 2\left |K_r \right |}\delta}e^{j\frac{K_r }{\left |K_r \right | }\frac{\pi v^2}{2}}dv\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (25)$

令正弦菲涅尔积分 $S\left ( x \right )=\int_0^x \sin\left ( \frac{\pi v^2}{2} \right )dv$ ，正弦菲涅尔积分 $C\left ( x \right )=\int_0^x \cos\left ( \frac{\pi v^2}{2} \right )dv$ ， $x=\sqrt{ 2\left |K_r \right |}\delta$ 。

$\Phi \left ( t_f \right )=-\pi \frac{f^2}{ K_r}$ ，当 $x>10$ 时， $\int_{0}^{x}e^{j\frac{\pi v^2}{2}}dv\approx \frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\frac{\pi}{4}}$ ， $\int_{0}^{x}e^{-j\frac{\pi v^2}{2}}dv\approx \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\frac{\pi}{4}}$ 则

$F\left ( f \right ) \approx \frac{A}{\sqrt{ \left |K_r \right |}}e^{j\frac{\pi Kr}{4 \left | K_r \right |}}e^{-j\pi \frac{f^2}{ K_r}}\text{rect}\left(\frac{f}{B} \right )\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (26)$

其中信号带宽 $B=\left |K_r \right |T_w$ 。

时域能量 $\int_{-\infty }^{\infty }\left | f(t) \right |^2dt=A^2 T$ ，频域能量 $\int_{-\infty }^{\infty }\left |F(f) \right |^2df=\frac{A^2}{K_r }B=A^2T$ ，两者相等，满足帕塞瓦尔定理，进一步验证公式的正确性。

考虑离散傅里叶变换与傅里叶变换幅度相差 $f_s$ ，时延相差 $T/2$ ，则公式（17）的离散信号的离散傅里叶变换结果为

$X\left [ k \right ]=\frac{Af_s}{\sqrt{ \left |K_r \right |}}e^{j\frac{\pi K_r}{4 \left |K_r \right |}}e^{-j\pi \frac{k^2 f_s^2}{ N^2K_r}}e^{-j\pi \left (N-1 \right ) \frac{k}{N} }\text{rect}\left(\frac{kf_s}{N B} \right )\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (27)$

三、仿真分析

2.1、矩形信号

（a）时域（b）频域（c) 相位差

考虑数据时长1 ms，矩形脉冲信号位于数据中心时刻，幅度10，持续时长100 us，信号采样率1 MHz，信号时域图如上图（a）所示，图（b）展示了matlab中fft实际计算结果与公式（11）的频谱对比，可以看出在峰值频点处信号频谱高度重合，图（c）展示了理论与实际结果的相位差，可以看出相位差几乎为0。由信号3db带宽定义可以估计获得脉宽估计值为98 us，由频谱峰值进一步计算获得幅度估计值为10.2。下图展示了10dB信噪比下的对比结果，某次实验估计的脉宽值为127 us，幅度估计值为8.5。

（a）时域（b）频域（c) 相位差

2.2、单频信号

（a）时域（b）频域（c) 相位差

考虑数据时长1 ms，单频脉冲信号位于数据中心时刻，幅度10，频率100 KHz，初相1rad，持续时长100 us，信号采样率1 MHz，信号时域图如上图（a）所示，图（b）展示了matlab中fft实际计算结果与公式（16）的频谱对比，可以看出在峰值频点处信号频谱高度重合，图（c）展示了理论与实际结果的相位差，可以看出相位差存在倒 $\pi$ 问题。由信号3db带宽定义可以估计获得脉宽估计值为98 us，由频谱峰值进一步计算获得幅度估计值为10.2，频率估计值为100 KHz，初相估计值为1.00 rad。下图展示了10dB信噪比下的对比结果，某次实验估计的脉宽值为127 us，幅度估计值为8.8，频率估计值为100 KHz，初相估计值为0.96 rad。

（a）时域（b）频域（c) 相位差

2.3、线性调频信号

（a）时域（b）频域（c) 相位差

考虑数据时长1 ms，单频脉冲信号位于数据中心时刻，幅度10，信号带宽 5MHz，持续时长100 us，调频率为50 GHz/s，信号采样率10 MHz，信号时域图如上图（a）所示，图（b）展示了matlab中fft实际计算结果与公式（16）的频谱对比，可以看出在带宽内信号频谱高度重合，图（c）展示了理论与实际结果的相位差，可以看出相位差很小，进一步验证公式（27）相位项的准确性。由信号3db带宽定义可以估计获得脉宽估计值为99.9 us，带宽估计值为5.001 MHz，调频率估计值为50.06 GHz/s，由带宽内平均频谱值进一步计算获得幅度估计值为10.04。下图展示了30dB信噪比下的对比结果，某次实验脉宽估计值为99.9 us，带宽估计值为4.780 MHz，调频率估计值为47.85 GHz/s，由带宽内平均频谱值进一步计算获得幅度估计值为9.91。