当前位置：首页 > news >正文

云电脑注册网站首页深圳龙华做网站

news 2025/10/16 4:39:04

云电脑注册网站首页,深圳龙华做网站,好网站目录,wordpress删掉h1专题一切比雪夫不等式切比雪夫不等式设随机变量的期望与方差均存在，则对任意，有或数轴上以为中心，以为半径，落在外面的概率随机变量偏离其均值的上界依概率收敛的定义设为一随机变量序列，为常数。若对任意&…

专题一切比雪夫不等式

切比雪夫不等式

设随机变量 $X$ 的期望与方差均存在，则对任意 $\varepsilon>0$ ，有

$P\{|X - EX|\geq\varepsilon\}\leq\frac{DX}{\varepsilon^{2}}$

或

$P\{|X - EX|<\varepsilon\}>1 - \frac{DX}{\varepsilon^{2}}$

数轴上以 $EX$ 为中心，以 $\varepsilon$ 为半径， $x$ 落在外面的概率

随机变量偏离其均值的上界

依概率收敛的定义

设 $\{X_{n}\}$ 为一随机变量序列， $a$ 为常数。

若对任意 $\varepsilon>0$ ，有

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\{|X_{n} - a|<\varepsilon\}=1$ ，

则称 $\{X_{n}\}$ 依概率收敛于 $a$ ，记作 $X_{n}\stackrel{P}{\longrightarrow}a$ 。

数轴上以a为中心，以 $\varepsilon$ 为半径， $X_n$ 落在其内的概率为1

专题二大数定律

切比雪夫大数定律（大量数据）

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立，方差有界，则

$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\stackrel{P}{\longrightarrow}\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}EX_{i}$

辛钦（Khinchine）大数定律

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立同分布，且 $EX_{i}=\mu,i = 1,2,\cdots$ ，则 $\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\stackrel{P}{\longrightarrow}\mu$

伯努利（Bernoulli）大数定律

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立，均服从 $B(1,p)$ ，则

$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\stackrel{P}{\longrightarrow}p$

专题三中心极限定理

列维 - 林德伯格（Levy—Lindeberg）中心极限定理

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立同分布，且 $EX_{i}=\mu$ ， $DX_{i}=\sigma^{2},i = 1,2,\cdots$ ，则对任意实数 $x$ ，有

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\left\{\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\right\}=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=\Phi(x)$

即 $\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$ 近似服从正态分布 $N(n\mu,n\sigma^{2})$ 。

狄莫弗 - 拉普拉斯（Demoivre—Laplace）中心极限定理

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立，均服从 $B(1,p)$ ，则对任意实数 $x$ ，有 $\lim_{n\rightarrow\infty}P\left\{\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-np}{\sqrt{np(1 - p)}}\leq x\right\}=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=\Phi(x)$