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【蓝桥杯 2024 国 Java A】粉刷匠小蓝

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蓝桥杯专栏：2024 国 Java A
算法竞赛：数学，组合数学，排列组合，排列数
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题目描述：
小蓝是一名勤劳的粉刷匠，今天他收到了一份来自蓝桥学院的委托，需要为学院的 $n$ 面墙进行粉刷。这 $n$ 面墙从左到右依次排列，编号从 $1$ 到 $n$。起初，所有墙的颜色均为白色。
学院希望小蓝能将其中一部分墙刷成蓝色，以营造一种冷色调的艺术氛围。为此，学院给小蓝提供了一个长度为 $n$ 的数组 {a1,a2,⋯,an}\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}{a1​,a2​,⋯,an​}，来指定每面墙的颜色要求。具体地，如果 $a_i=0$，则第 $i$ 面墙保持白色；如果 $a_i=1$，则小蓝需要将第 $i$ 面墙刷成蓝色。
小蓝每次只能刷一面墙，他会将一面墙完整的刷完后再刷另一面墙。为了确保整体墙面的视觉效果，学院还提一个小小的要求：在粉刷过程中，如果要将第 $i$ 面墙刷成蓝色，那么它右侧（第 $i+1$ 面墙 $\sim$ 第 $n$ 面墙）蓝色的墙的个数必须是偶数（包括 $0$ 个）。
现在，请你计算小蓝共有多少种刷墙顺序可以满足学院的要求？由于答案可能很大，因此你只需要给出答案对 $10^9+7$ 取模后的结果即可。
在本题中，不同的刷墙方法只与小蓝刷墙的顺序有关。例如，先刷第 $1$ 面墙再刷第 $2$ 面墙，与先刷第 $2$ 面墙再刷第 $1$ 面墙，被视为两种不同的方法。

输入格式：
输入的第一行包含一个正整数 $n$，表示墙的数量。
第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，相邻整数之间使用一个空格分隔，按编号从 $1$ 到 $n$ 的顺序依次表示每面墙的颜色要求。
输出格式：
输出一行包含一个整数，表示满足要求的刷墙顺序数量对 $10^9+7$ 取模后的结果。

数据范围：

• 对于 $20\%$ 的评测用例，$1\le n\le 13$，$a_i=1$。
• 对于所有评测用例，$1\le n\le 2\times 10^5$，$0\le a_i\le 1$。

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题目大意

给出一个只含 $0,1$ 元素的序列，每个元素对应一面墙的状态，元素 $0$ 表示对应的那一面墙不被粉刷，元素 $1$ 表示对应的那一面墙将被粉刷，当每刷一面墙时，要求这面墙右面已经被粉刷了的墙的数量必须为偶数（墙从左往右编号），求满足条件的粉刷顺序一共有多少种，结果对 $10^9+7$ 取模。

题目分析

不被粉刷的墙舍弃即可，即可转化成 $1\sim m$ 的满足条件的排列数问题，其中 $m$ 是将被粉刷的墙的数量，要满足的条件为排列中每个数的左侧比它大的数的个数必须为偶数。

题目思路

这是一道排列数问题，排列数的求解常用乘法原理。

有 $m$ 面将要粉刷的墙，编号为 $1\sim m$，正向枚举 $1\sim m$ 找出每个数可以摆放位置的数量，再将它们相乘即可。

以 $m=5$ 为例，对于编号为 $1$ 的墙：

位置编号	位置 1	位置 2	位置 3	位置 4	位置 5
摆放状态	可摆放	不可摆放	可摆放	不可摆放	可摆放

因为在 $1$ 左侧且比 $1$ 大的数必须为偶数个，那么 $1$ 必须摆放在奇数位置上。

对于编号为 $2$ 的墙：

由于 $1$ 号墙已经占用了一个位置，那么现在可用的位置只有 $m-1=4$ 个了，$1<2$，则 $1$ 号墙的位置对 $2$ 墙没有直接影响，现在有 $4$ 个位置，将它们重新编号，编号后 $2$ 号墙也要摆放在奇数编号的位置，道理同上。

位置编号	位置 1	位置 2	位置 3	位置 4
摆放状态	可摆放	不可摆放	可摆放	不可摆放

$3,4,5$ 号墙同理。

那么可以得到对应每一面墙编号可摆放的位置的数量为：

$$nu{m}_i=\lceil \frac{m-(i-1)}{2}\rceil$$

其中，$m$ 为要粉刷的墙的数量，$i$ 为现在粉刷的墙的编号，从 $1\sim m$。

那么总方案数即为：

$$\prod _{i=1}^m\lceil \frac{m-(i-1)}{2}\rceil$$

为了程序更便利地编写，可以将形式转换为：

$$\prod _{i=1}^m\lceil \frac{i}{2}\rceil =\prod _{i=1}^m\lfloor \frac{i+1}{2}\rfloor$$

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;//模数
int main()
{int n,cnt=0,ans=1;//cnt--将被粉刷的墙的数量,ans--最终方案数scanf("%d",&n);while (n--)//后面不用 n,直接 n-- 即可{int x;scanf("%d",&x);if (x) cnt++;//也可以写成 cnt+=x;}for (int i=1;i<=cnt;i++)ans=(long long)ans*((i+1)/2)%mod;//注意使用 long long 类型计算printf("%d",ans);return 0;
}

END

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更新日志

1. 2025/09/10 开始书写本篇 CSDN 博客，并完稿发布。