【高中小蓝本】数论 02 最大公约数 最小公倍数
一、求最大公约数的方法
数论中最大公约数的概念。首先说明，当a、b不全为零时，能同时整除a和b的整数（像这类）就是它们的公约数。因为a、b不全为零，根据相关性质，可知a、b的公约数数量是有限的。然后，把这些公约数里最大的那个叫做a、b的最大公约数，用符号
来表示，并且最大公约数是正整数。
1. 辗转相除法（欧几里得算法）
核心逻辑：用较大数除以较小数取余数，再用除数和余数重复此操作，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数。公表达：c（x表示a除以b的余数）。
2. 更相减损法（辗转相减法，出自《九章算术》）
步骤：① 若两数都是偶数，用2约简 （就是除以2，重复此步骤直到至少一个数为奇数）；
② 用大数减小数，再用所得的 “差” 与 “较小数” 重复相减，直到两数相等（此时的数称为 “等数”）；
③ 最终最大公约数为 “等数” 与①中约简的所有2的乘积。
3. 分解质因数法
步骤：将两个数分别分解为质因数的乘积，提取所有公有质因数并相乘，结果即为最大公约数。
4.穷举法
穷举法的基本思路
穷举法（枚举法）求最大公约数的步骤是：
- 找到两个数中 较小的那个数（因为最大公约数不可能大于较小的数）。
- 从这个较小的数开始，向下依次尝试更小的整数。
- 检查每个数是否能同时整除原来的两个数。
- 找到的第一个符合条件的数，就是最大公约数。
性质
结合律
GCD 具有结合律：GCD(a,b,c) = GCD(GCD(a,b), c)
示例：求 gcd (12, 18)
- 较小的数是 12。
- 我们从 12 开始检查：
- 检查 12：
- 12 ÷ 12 = 1（整除）
- 18 ÷ 12 = 1 …… 余 6（不能整除）
- 所以 12 不是最大公约数。
- 检查 12：
- 接下来，按穷举法的规则，我们要检查比 12 小的下一个整数，也就是 11、10、9、8、7、6……
- 11：12 ÷ 11 余 1（不行）
- 10：12 ÷ 10 余 2（不行）
- 9：12 ÷ 9 余 3（不行）
- 8：12 ÷ 8 余 4（不行）
- 7：12 ÷ 7 余 5（不行）
- 6：
- 12 ÷ 6 = 2（整除）
- 18 ÷ 6 = 3（整除）
- 所以 6 是最大公约数。
为什么可以直接跳到 6
虽然穷举法是 “从大到小逐个试”，但在实际操作中，我们知道最大公约数一定是两数之差的约数（这个是数论性质）。
- 18 - 12 = 6
- 所以最大公约数一定是 6 的约数，也就是可能是 6、3、2、1。
- 这样我们可以直接从 6 开始试，减少中间多余的步骤。
✅ 总结第二次判断 6 是因为：
- 穷举法是从较小数开始，由大到小检查。
- 12 不行，就尝试更小的数。
- 利用数学性质可以直接跳到 6（两数之差），减少多余计算。
- 6 正好能同时整除 12 和 18，所以它就是最大公约数。
5. 递归法（基于辗转相除法的递归实现）
通过递归函数实现辗转相除法的逻辑：当余数\(b = 0\)时，返回当前的除数a；否则递归调用\gcd(b, a mod b)。代码逻辑示例（伪代码）：
plaintext
int gcd(int a, int b) {if (b == 0) return a;return gcd(b, a % b);
}
示例：求gcd(6, 12)，递归过程为gcd(6, 12) to gcd(12, 6) to gcd(6, 0)，返回6。
6. 短除法
步骤：用两数的公约数连续去除两数，直到商为互质数（即只有公约数1），最后将所有除数相乘，结果就是最大公约数。
示例：求gcd(36, 54)
先除以公约数 2 得到 18 ，27
再除以公约数3，得到6 ，9
再除以3 得到 2,3 ， 2,3 互为质数 。
除数相乘 2*3*3 =18 最大公约数为18。
二、求两个数最小公倍数
求两个数的最小公倍数有多种方法，以下是常用且清晰的方法总结（含原理、步骤与示例）：
性质 结合律
多个数的 LCM 同样具有结合律：LCM(a,b,c) = LCM(LCM(a,b), c)。注意：两个数的 LCM 公式为 LCM(a,b) = a×b // GCD(a,b)（先乘后除，避免精度问题）。
一、公式法（利用最大公约数）
核心原理：两个正整数的乘积等于它们的 ** 最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）** 的乘积，即：
步骤：
- 先求两数的最大公约数（可通过辗转相除法、更相减损法等实现）；
- 用两数的乘积除以最大公约数，结果即为最小公倍数。
示例：求LCM（12,18）
- 第一步：求GCD(12,18)。用辗转相除法：18/12 余 6；12 / 6 = 2 余 0，故GCD(12, 18) = 6。
- 第二步：计算最小公倍数：LCM(12, 18) = (12*18)/6=36。
二、分解质因数法
核心原理：将两个数分解为质因数的乘积，取每个质因数的最高次幂相乘，结果即为最小公倍数。
步骤：
- 分别分解两个数的质因数；
- 找出所有质因数，并确定每个质因数在两个数中的最高次幂；
- 将这些最高次幂的质因数相乘。
示例：求
- 分解质因数：12 =2^2*3，18=3^2 * 2；
- 取最高次幂：质因数 2 的最高次幂为 2^2（来自 12），质因数 3 的最高次幂为 3^2（来自 18）；
- 相乘：2^2 * 3^2 =36。
三、短除法
核心原理：用两个数的公有质因数连续除，直到商为互质数（只有公约数 1），再将所有除数和最终的商相乘。
步骤：
- 用两数的最小公有质因数（通常从最小的质数开始，如 2、3 等）去除两数，得到商；
- 继续用新商的公有质因数去除，直到商互质；
- 把所有除数和最后两个互质的商相乘。
示例：求 \(\text{LCM}(16, 24)\)
- 用 2 除：\(16 \div 2 = 8\)，\(24 \div 2 = 12\)；
- 再用 2 除：\(8 \div 2 = 4\)，\(12 \div 2 = 6\)；
- 再用 2 除：\(4 \div 2 = 2\)，\(6 \div 2 = 3\)（此时 2 和 3 互质）；
- 相乘：\(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 48\)。
四、特殊情况快速法
根据两数的关系，可直接得出最小公倍数：
1. 互质关系
若两数的最大公约数为 1（互质），则最小公倍数为两数的乘积。
示例：
- 7 和 8 互质（只有公约数 1），故 \(\text{LCM}(7, 8) = 7 \times 8 = 56\)；
- 2、3、5 两两互质，故 \(\text{LCM}(2, 3, 5) = 2 \times 3 \times 5 = 30\)。
2. 倍数关系
若一个数是另一个数的倍数，则较大的数就是最小公倍数。
示例：
- 25 是 5 的倍数，故 \(\text{LCM}(25, 5) = 25\)。
五、累加法（迭乘法）
核心原理：最小公倍数是两数的共同倍数，因此将其中一个数依次扩大倍数，直到能被另一个数整除。
步骤：
- 选两数中较大的数（或任选其一）；
- 依次将其扩大 1 倍、2 倍、3 倍……；
- 第一个能被另一个数整除的数，即为最小公倍数。
示例：求 \(\text{LCM}(12, 8)\)
- 选 12，依次扩大：\(12 \times 1 = 12\)（\(12 \div 8\) 余 4，不行）；\(12 \times 2 = 24\)（\(24 \div 8 = 3\)，能整除）；
- 故 \(\text{LCM}(12, 8) = 24\)。
六、枚举法（暴力枚举）
核心原理：从两数的较大值开始，依次加 1，直到找到能同时被两数整除的最小数。
步骤：
- 找出两数中的较大值；
- 从该值开始，依次加 1，检查是否能同时被两数整除；
- 第一个符合条件的数即为最小公倍数。
示例：求 \(\text{LCM}(12, 8)\)
- 较大值为 12；
- 检查 12：\(12 \div 8\) 余 4（不行）；
- 检查 13：\(13 \div 12\) 余 1，\(13 \div 8\) 余 5（不行）；
- …… 直到 24：\(24 \div 12 = 2\)，\(24 \div 8 = 3\)（能整除）；
- 故 \(\text{LCM}(12, 8) = 24\)。（注：此方法效率低，适合小数。）
方法适用场景总结
- 公式法、分解质因数法：适合大多数情况，逻辑清晰且计算高效；
- 短除法：直观易操作，适合初学者理解 “质因数与公倍数的关系”；
- 特殊情况快速法：可大幅简化计算（如互质、倍数关系的数）；
- 累加法、枚举法：更偏向基础理解或验证，适合小数值或教学演示。
算法题
3334. 数组的最大因子得分 - 力扣（LeetCode）