线性代数 | 要义 / 本质 （下篇）

注：本文为 “线性代数 | 要义 / 本质” 相关合辑。
略排未全校，如有内容异常，请看原文。
稍后补上几张图……

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• 线性代数 | 要义 / 本质 （上篇）-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/u013669912/article/details/153110982

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【直观详解】线性代数的本质（下篇）

5 行列式的几何意义

The purpose of computation is insight, not numbers - Richard Hamming
计算的目的不在于数字本身，而在于洞察其背后的意义 ——理查德·汉明（没错，是发明汉明码的那个人）

5.1 行列式的定义

行列式是衡量线性变换对空间体积（面积 / 体积）缩放比例的指标，记为 $\det (A)$ 或 $|A|$。

• 二维空间：对于矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，其行列式为 $\det (A)=ad-bc$，几何意义是 “标准基 {ı^,ȷ^}\{\hat {\imath}, \hat {\jmath}\}{^,^​} 构成的单位正方形，经 $A$ 变换后形成的平行四边形的面积”；

  

• 三维空间：对于矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$，其行列式为 $\det (A)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$，几何意义是 “标准基 {ı^,ȷ^,k^}\{\hat {\imath}, \hat {\jmath}, \hat {k}\}{^,^​,k^} 构成的单位立方体，经 $A$ 变换后形成的平行六面体的体积”。

5.2 行列式的符号与降维

5.2.1 行列式的符号意义

行列式的正负表示线性变换是否改变空间的“定向”，具体判断方式随空间维度不同而变化：

1. 二维空间：以单位向量 $\hat{ı}$ 为参照，若 $\hat{ȷ}$ 经变换后从 $\hat{ı}$ 的左侧转移至右侧（效果类似“纸的翻面”），则行列式为负；反之，$\hat{ȷ}$ 相对 $\hat{ı}$ 方位不变，行列式为正。
2. 三维空间：空间定向通过右手定则判断——右手四指沿 $\hat{ı}\to \hat{ȷ}\to \hat{k}$ 顺序弯曲，大拇指指向为空间正定向。变换后定向方向相反，行列式为负；定向方向不变，行列式为正。

5.2.2 行列式与空间降维的关系

若矩阵 $A$ 的行列式 $\det (A)=0$，则该矩阵对应的线性变换会导致空间维度降低：

• 二维空间变换后降为直线；
• 三维空间变换后降为平面或直线。

其本质是：$\det (A)=0$ 时，矩阵 $A$ 的列向量线性相关，张成的空间维度小于矩阵阶数（如二阶矩阵列向量张成一维空间，三阶矩阵列向量张成二维或一维空间）。

5.2.3 线性变换的性质与行列式的作用

1. 线性变换的基本性质：
   线性变换保持图形的平行性，但改变图形的大小与方向；且不必然保持形状——仅旋转、反射等特殊线性变换保形，剪切变换等会改变图形形状。

2. 行列式在二维线性变换中的作用：
   行列式是描述矩阵缩放作用的标量值，可确定二维线性变换的两个关键结果：

   • 判断朝向变化：行列式为正，图形朝向不变；行列式为负，图形朝向反转。
   • 确定面积缩放比例：行列式的绝对值等于面积缩放比例。绝对值为 1 时面积不变，大于 1 时面积放大，小于 1 时面积缩小。

5.3 行列式的重要性质

由几何意义可直接推导行列式的核心性质：

1. $\det (M_1{M}_2)=\det (M_1)\det (M_2)$：复合变换的体积缩放比例等于各变换缩放比例的乘积；

2. $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$：逆变换的缩放比例是原变换的倒数（若原变换放大 $k$ 倍，逆变换缩小 $\frac{1}{k}$ 倍）；

3. $\det (kA)=k^n\det (A)$：$n$ 阶矩阵的数乘变换，体积缩放比例为 $k^n$（二维：面积缩放 $k^2$，三维：体积缩放 $k^3$）。

行列式直观理解

行列式是矩阵的一个数值特征，为建立行列式计算公式与几何直观的联系，二阶矩阵 $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 的行列式，对应其列向量张成图形的有向面积：

• 当 $b=c=0$ 时，矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right]$，$a$ 是 $\hat{i}$ 在 $x$ 轴的缩放比例，$d$ 是 $\hat{j}$ 在 $y$ 轴的缩放比例，行列式 $ad$ 是单位正方形按 $a$、$d$ 拉伸后的面积（拉伸倍数）。

• 当 $b$、$c$ 非 $0$ 时，行列式 $ad-bc$ 综合了 $x$、$y$ 轴拉伸与图形“倾斜压缩”的效果，为变换后图形的有向面积（总缩放比例）。

  

6 逆矩阵、列空间与零空间

To ask the right question is harder than to answer it - Georg Cantor
提出正确的问题比回答它更难 ——格奥尔格·康托尔

6.1 线性方程组的几何意义

线性方程组的一般形式为 $A\vec{x}=\vec{v}$，其中 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，$\vec{x}$ 为待求向量，

几何直观来翻译个公式即 $A\vec{x}$ 经过 $A$ 矩阵变换后，恰好落在 $\vec{v}$ 上

从线性变换的角度，该方程的几何意义是：找到向量 $\vec{x}$，使其经 $A$ 变换后恰好等于 $\vec{v}$。

6.2 逆矩阵与方程组求解

6.2.1 逆矩阵的定义

若存在矩阵 $A^{-1}$，使得 $A^{-1}A=I$（$I$ 为单位矩阵，$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$（二维），$I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$（三维）），则称 $A^{-1}$ 为 $A$ 的逆矩阵。

• 几何意义：$A^{-1}$ 对应的变换是 $A$ 的 “逆操作”—— 若 $A$ 将 $\vec{x}$ 变换为 $\vec{v}$，则 $A^{-1}$ 将 $\vec{v}$ 变换回 $\vec{x}$。
  

6.2.2 线性方程组的解

在线性代数中，任意一个 $m\times n$ 型线性方程组均可以表示为矩阵形式 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$，其中各符号的定义如下：

• $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$：称为系数矩阵，由方程组中未知量的系数按原顺序构成；
• $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$：称为未知向量，包含方程组中所有待求解的未知量；
• $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^m$：称为常数项向量，由方程组等号右侧的常数项构成。

该矩阵形式的核心意义在于：线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 与从向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^m$ 的线性变换 $T_A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$（定义为 $T_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$）一一对应。这种对应关系将“求解方程组”转化为“分析线性变换的性质”，我们可从逆变换、列空间、零空间三个维度，系统讨论方程组解的存在性、唯一性及解集合的结构。

1. 逆变换与方程组的唯一解

当线性变换 $T_A$ 满足“可逆”条件时，方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 存在唯一解，具体推导与结论如下：

1.1 可逆的等价条件

线性变换 $T_A$ 可逆，等价于其对应的系数矩阵 $A$ 满足两个条件：

1. $A$ 是方阵（即 $m=n$，方程组的“方程个数”等于“未知量个数”）；
2. $A$ 的行列式非零（即 $\det (A)\ne 0$，此时 $A$ 称为可逆矩阵或非奇异矩阵）。

行列式非零的几何意义是：线性变换 $T_A$ 不会导致向量空间“降维”（例如，${\mathbb{R}}^3$ 中的变换不会将向量映射到 ${\mathbb{R}}^2$ 或更低维的空间），因此每个输出向量 $\mathbf{v}$ 都能唯一对应一个输入向量 $\mathbf{x}$。

1.2 唯一解的代数形式

若 $A$ 可逆，则其逆矩阵 $A^{-1}$ 存在且唯一（满足 $A^{-1}A=A{A}^{-1}=I$，其中 $I$ 为单位矩阵）。对 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 两边同时左乘 $A^{-1}$，可通过矩阵运算直接求解 $\mathbf{x}$：
$$A^{-1}A\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{v}⟹I\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{v}⟹\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{v}$$
从线性变换的角度看，该解等价于“将逆变换 $T_A^{-1}$ 作用于 $\mathbf{v}$”，即 $\mathbf{x}=T_A^{-1}(\mathbf{v})$，这进一步印证了解的唯一性——逆变换的输出是唯一的。

2. 列空间与方程组的解的存在性

当 $T_A$ 不可逆（或 $A$ 非方阵）时，方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 未必有解，需通过系数矩阵 $A$ 的列空间（Column Space）判定解的存在性。

2.1 列空间的定义

系数矩阵 $A$ 的列空间（记为 $\text{Col}(A)$）是 $A$ 的所有列向量在 ${\mathbb{R}}^m$ 中通过“线性组合”张成的子空间。例如，若 $A=[{\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2\dots {\mathbf{a}}_n]$（其中 ${\mathbf{a}}_i\in {\mathbb{R}}^m$ 是 $A$ 的第 $i$ 列），则：
Col(A)={c1a1+c2a2+⋯+cnan∣c1,c2,…,cn∈R}\text{Col}(A) = \left\{ c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2 + \dots + c_n\mathbf{a}_n \mid c_1, c_2, \dots, c_n \in \mathbb{R} \right\} Col(A)={c1​a1​+c2​a2​+⋯+cn​an​∣c1​,c2​,…,cn​∈R}
其几何意义是：线性变换 $T_A$ 的所有可能输出向量构成的集合，即 $T_A$ 的“值域”。

2.2 解的存在性充要条件

根据列空间的定义，方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 有解的本质是“$\mathbf{v}$ 属于 $T_A$ 的值域”，因此可得到核心结论：

线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 有解的充要条件是：常数项向量 $\mathbf{v}$ 属于系数矩阵 $A$ 的列空间，即 $\mathbf{v}\in \text{Col}(A)$。

结合行列式的特殊情况（当 $A$ 为方阵时）：

• 若 $\det (A)\ne 0$（$A$ 可逆），则 $\text{Col}(A)={\mathbb{R}}^m$（列空间充满整个目标空间），因此对任意 $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^m$，方程组均有解（与第1节结论一致）；
• 若 $\det (A)=0$（$A$ 不可逆），则 $\text{Col}(A)$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 的真子空间（维度低于 $m$），此时仅当 $\mathbf{v}$ 落在该真子空间内时，方程组有解，否则无解。

3. 零空间与方程组的解集合结构

当方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 有解时，解的个数可能是“唯一”或“无穷多”，需通过系数矩阵 $A$ 的零空间（Null Space）刻画解集合的完整结构。

3.1 零空间的定义

系数矩阵 $A$ 的零空间（记为 $\text{Nul}(A)$）是齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$（常数项向量全为0的方程组）的所有解向量在 ${\mathbb{R}}^n$ 中构成的子空间，即：
Nul(A)={z∈Rn∣Az=0}\text{Nul}(A) = \left\{ \mathbf{z} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{z} = \mathbf{0} \right\} Nul(A)={z∈Rn∣Az=0}
齐次方程组 $A\mathbf{x}=0$ 始终有解（至少存在零解 $\mathbf{x}=0$），因此零空间 $\text{Nul}(A)$ 永远非空。

3.2 解集合的结构定理

设非齐次方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 有解，且 ${\mathbf{x}}_0$ 是其任意一个特解（即满足 $A{\mathbf{x}}_0=\mathbf{v}$ 的某个固定解），则方程组的所有解可表示为“特解 + 零空间中任意向量”的形式，即：
$$\mathbf{x}={\mathbf{x}}_0+\mathbf{z},\text{其中 }\mathbf{z}\in \text{Nul}(A)$$

该定理的逻辑验证如下：

1. 解的有效性：若 $\mathbf{z}\in \text{Nul}(A)$，则 $A\mathbf{z}=0$，因此 $A({\mathbf{x}}_0+\mathbf{z})=A{\mathbf{x}}_0+A\mathbf{z}=\mathbf{v}+0=\mathbf{v}$，即 ${\mathbf{x}}_0+\mathbf{z}$ 是方程组的解；

2. 解的完整性：设 $\mathbf{x}$ 是方程组的任意一个解，则 $A(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0)=A\mathbf{x}-A{\mathbf{x}}_0=\mathbf{v}-\mathbf{v}=0$，即 $\mathbf{x}-\mathbf{z}\in \text{Nul}(A)$，因此 $\mathbf{x}$ 可表示为 ${\mathbf{x}}_0+(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0)$，符合上述形式。

3.3 特殊情况的解集合

根据上述定理，可进一步明确两类典型方程组的解集合：

• 非齐次方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$：
  • 若 $\mathbf{v}\notin \text{Col}(A)$：解集合为空集（无解）；
  • 若 $\mathbf{v}\in \text{Col}(A)$：解集合为 {x0+z∣z∈Nul(A)}\left\{ \mathbf{x}_0 + \mathbf{z} \mid \mathbf{z} \in \text{Nul}(A) \right\}{x0​+z∣z∈Nul(A)}（无穷多解，除非 Nul(A)={0}\text{Nul}(A) = \left\{ \mathbf{0} \right\}Nul(A)={0}，即零空间仅含零向量，此时解唯一）。
• 齐次方程组 $A\mathbf{x}=0$：
  • 特解 ${\mathbf{x}}_0=0$（零解），因此解集合就是零空间 $\text{Nul}(A)$；
  • 若 Nul(A)={0}\text{Nul}(A) = \left\{ \mathbf{0} \right\}Nul(A)={0}，则仅有零解；若 $\text{Nul}(A)$ 维度大于0，则有无穷多非零解。

6.3 列空间（Column Space）

矩阵 $A$ 的列空间是其所有列向量张成的空间，记为 $C(A)$。

• 几何意义：列空间是线性变换 $A$ 的 “所有可能输出向量” 的集合（即 $A\vec{x}$ 的所有可能结果）；
• 维度与秩：列空间的维度称为矩阵的秩（记为 $\text{rank}(A)$）。对于 $n\times n$ 矩阵，若 $\text{rank}(A)=n$（满秩），则列空间是整个 $n$ 维空间；若 $\text{rank}(A)<n$（降秩），则列空间是 $n$ 维空间的一个子空间（如二维中的直线、三维中的平面）。

重要性质：零向量 $\vec{0}$ 一定在列空间中（令 $\vec{x}=\vec{0}$，则 $A\vec{0}=\vec{0}$）。

6.4 零空间（Null Space）

所有经过该矩阵变换后落在原点的向量的集合，称为该矩阵（再次强调，矩阵是变换的数字表达）的零空间或核。

图 1 二维空间压缩到一条直线（一维），其中一条直线（一维）上的点被压缩到原点。
图 2 三维空间压缩到一个平面（二维），其中一条直线（一维）上的点被压缩到原点。
图 3 三维空间压缩到一条直线（一维），其中一个平面（二维）上的点被压缩到原点。
注意： 线性压缩是一种线性变换，而矩阵是线性变换在给定基下的代数表示（数字表达），二者一一对应但并非等同。

矩阵 $A$ 的零空间是满足 $A\vec{x}=\vec{0}$ 的所有向量 $\vec{x}$ 的集合，记为 $N(A)$。

• 几何意义：零空间是线性变换 $A$ 中 “被压缩到原点的向量” 的集合；
• 维度关系（秩 - 零定理）：对于 $n\times n$ 矩阵，$\text{rank}(A)+\dim (N(A))=n$（列空间维度与零空间维度之和等于矩阵的阶数）。

示例：

• 若 $A$ 是 $2\times 2$ 矩阵且 $\det (A)=0$（二维→一维），则零空间是一条直线（所有被压缩到原点的向量构成的直线）；
• 若 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵且 $\text{rank}(A)=2$（三维→二维），则零空间是一条直线（$\dim (N(A))=3-2=1$）。

6.4.1 秩-零化度定理

零化度（Nullity）是线性代数中矩阵零空间的维数，是衡量矩阵“将向量映射为零向量”能力的重要指标。

• 零空间（Null Space，又称核空间 Kernel）：指矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 的所有解向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$ 的集合，即 N(A)={x∈Rn∣Ax=0}\text{N}(A) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}N(A)={x∈Rn∣Ax=0}。
• 零化度的本质：零空间作为一个向量空间，其维数即为零化度（记为 $\text{nullity}(A)$），等价于零空间中“极大线性无关组的向量个数”（即零空间的基向量数）。
• 零化度的计算：通过对矩阵 $A$ 做初等行变换化为行最简形，解线性方程组 $A\mathbf{x}=0$ 得到自由变量的个数，该个数即为零化度（自由变量数 = 零空间维数）。

对任意 $m\times n$ 矩阵 $A$，其列空间的维数（即秩 $\text{rank}(A)$）与零空间的维数（零化度）之和，等于矩阵的列数 $n$，即：

$$\dim (\text{Col}(A))+\dim (\text{Nul}(A))=n$$

注意：是“维数之和”，而非“空间本身相加”——列空间（${\mathbb{R}}^m$ 子空间）与零空间（${\mathbb{R}}^n$ 子空间）维度可能不同，无法直接叠加。

6.4.2 满秩与列空间、零空间

“满秩”是矩阵的属性（$\text{rank}(A)=\min (m,n)$），结合上述定理分析：

• 若 $A$ 为 $n\times n$ 方阵（满秩即 $\text{rank}(A)=n$）：
  由定理得 $\dim (\text{Nul}(A))=0$（零空间仅含零向量），且列空间 $\text{Col}(A)={\mathbb{R}}^n$（满维子空间）。
• 若 $A$ 为长方阵（如 $m<n$ 时满秩即 $\text{rank}(A)=m$）：
  列空间 $\text{Col}(A)={\mathbb{R}}^m$（满维），零空间维数 $n-m>0$（含非零解）。

7 非方阵的几何意义

On this quiz, I asked you to find the determinant of a 2*3 matrix. Some of you, to my great amusement, actually tried to do this - no name listed
在这个小测试里，我让你们求一个 2*3 矩阵的行列式。让我感到非常可笑的是，你们当中竟然有人尝试去做 ——佚名

7.1 非方阵的维度映射

非方阵（如 $m\times n$ 矩阵，$m\ne n$）对应的线性变换是不同维度空间之间的映射：

• $m\times n$ 矩阵：将 $n$ 维输入空间映射到 $m$ 维输出空间；
• 示例：$3\times 2$ 矩阵将二维空间映射到三维空间（输入为 $2$ 维向量，输出为 $3$ 维向量），其列向量是二维标准基 {ı^,ȷ^}\{\hat {\imath}, \hat {\jmath}\}{^,^​} 在三维空间中的变换结果。

7.2 非方阵乘法的条件

两个非方阵 $M_1$（$p\times q$）与 $M_2$（$q\times r$）可相乘的充要条件是：前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数（即 $M_1$ 的输入维度等于 $M_2$ 的输出维度），乘积矩阵 $M=M_1{M}_2$ 的维度为 $p\times r$。

• 几何意义：$M_2$ 将 $r$ 维空间映射到 $q$ 维空间，$M_1$ 再将 $q$ 维空间映射到 $p$ 维空间，复合变换的输入维度为 $r$，输出维度为 $p$，与乘积矩阵维度一致。

7.3 非方阵的行列式

非方阵不存在行列式，因为行列式的核心是 “体积缩放比例”，而不同维度空间之间的映射（如二维→三维）无法定义 “体积比”（二维空间的 “面积” 与三维空间的 “体积” 单位不同，无直接比例关系）。

8 点积与对偶性

8.1 点积的定义与几何意义

8.1.1 代数定义

对于 $n$ 维向量 $\vec{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ \cdots \\ v_n\end{array}\right]$ 与 $\vec{w}=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ \cdots \\ w_n\end{array}\right]$，其点积为：
$$\vec{v}\cdot \vec{w}=v_1{w}_1+v_2{w}_2+\cdots +v_n{w}_n$$

8.1.2 几何意义

点积的几何意义是 “一个向量在另一个向量上的投影长度与被投影向量长度的乘积”，即：
$$\vec{v}\cdot \vec{w}=\Vert \vec{v}\Vert \cdot \Vert \vec{w}\Vert \cdot \cos \theta$$
其中 $\theta$ 是 $\vec{v}$ 与 $\vec{w}$ 的夹角，$\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}$ 是 $\vec{v}$ 的长度（模）。

• 符号含义：$\cos \theta >0$（$\theta <90^{\circ }$）时，点积为正；$\cos \theta <0$（$\theta >90^{\circ }$）时，点积为负；$\cos \theta =0$（$\theta =90^{\circ }$）时，点积为 $0$（两向量垂直）。

8.2 点积的交换律

点积满足交换律：$\vec{v}\cdot \vec{w}=\vec{w}\cdot \vec{v}$，几何解释如下：

• 若 $\Vert \vec{v}\Vert =\Vert \vec{w}\Vert$，则 $\vec{v}$ 在 $\vec{w}$ 上的投影长度等于 $\vec{w}$ 在 $\vec{v}$ 上的投影长度，乘积相等；
• 若 $\Vert \vec{v}\Vert \ne \Vert \vec{w}\Vert$，设 $\vec{v}$ 的长度为 $k\Vert \vec{w}\Vert$，则 $\vec{v}$ 在 $\vec{w}$ 上的投影长度为 $k$ 倍 $\vec{w}$ 在 $\vec{v}$ 上的投影长度，乘积仍相等（如 $\vec{v}=2\vec{u}$，则 $2\vec{u}\cdot \vec{w}=2(\vec{u}\cdot \vec{w})=\vec{w}\cdot 2\vec{u}$）。

8.3 对偶性：点积与线性变换的对应

8.3.1 多维到一维的线性变换

$1\times n$ 矩阵（行向量）对应的线性变换是将 $n$ 维空间映射到一维空间（数轴）。

例如，$1\times 2$ 矩阵 $\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]$ 对二维向量 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 的变换结果为 $ax+by$，这与点积 $\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 完全一致。

8.3.2 对偶性的定义

对偶性是指 “多维到一维的线性变换” 与 “该空间中的向量” 之间的一一对应关系：

• 对于任意 $n$ 维到一维的线性变换 $L(\vec{x})$，存在唯一的 $n$ 维向量 $\vec{u}$，使得 $L(\vec{x})=\vec{u}\cdot \vec{x}$；
• 反之，任意 $n$ 维向量 $\vec{u}$ 都可定义一个 $n$ 维到一维的线性变换 $L(\vec{x})=\vec{u}\cdot \vec{x}$。
  

几何解释：设 $\vec{u}$ 是一维空间（数轴）的单位向量，$L(\vec{x})$ 是 $\vec{x}$ 在 $\vec{u}$ 所在数轴上的投影长度，则 $L(\vec{x})=\vec{u}\cdot \vec{x}$（投影长度等于 $\vec{x}$ 与单位向量 $\vec{u}$ 的点积）。

9 叉积的本质

9.1 二维叉积（类比）

二维空间中，向量 $\vec{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]$ 与 $\vec{w}=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right]$ 的叉积（类比定义）为：
$$\vec{v}\times \vec{w}=v_1{w}_2-v_2{w}_1$$

• 几何意义：二维叉积的绝对值等于 $\vec{v}$ 与 $\vec{w}$ 张成的平行四边形的面积，符号表示 $\vec{w}$ 相对于 $\vec{v}$ 的旋转方向（逆时针为正，顺时针为负）。

9.2 三维叉积的定义

三维空间中，向量 $\vec{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right]$ 与 $\vec{w}=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ w_3\end{array}\right]$ 的叉积是一个新的三维向量 $\vec{p}=\vec{v}\times \vec{w}$，其定义为：
$$\begin{array}{rl}\vec{v}\times \vec{w}& =\det \left(\left[\begin{array}{ccc}\hat{ı}& v_1& w_1\\ \hat{ȷ}& v_2& w_2\\ \hat{k}& v_3& w_3\end{array}\right]\right)\\ & =\hat{ı}(v_2{w}_3-v_3{w}_2)-\hat{ȷ}(v_1{w}_3-v_3{w}_1)+\hat{k}(v_1{w}_2-v_2{w}_1)\end{array}$$

9.2.1 三维叉积的几何性质

1.长度：$\Vert \vec{v}\times \vec{w}\Vert =\Vert \vec{v}\Vert \cdot \Vert \vec{w}\Vert \cdot \sin \theta$，其中 $\theta$ 是 $\vec{v}$ 与 $\vec{w}$ 的夹角，几何意义是 $\vec{v}$ 与 $\vec{w}$ 张成的平行四边形的面积；
2.方向：$\vec{p}$ 与 $\vec{v}$、$\vec{w}$ 均垂直，方向由右手定则确定（右手四指沿 $\vec{v}\to \vec{w}$ 方向弯曲，大拇指指向即为 $\vec{p}$ 的方向）。

9.3 叉积与对偶性

三维叉积可通过 “对偶性” 理解：

1. 定义三维到一维的线性变换 $L(\vec{x})=\det \left(\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& v_1& w_1\\ x_2& v_2& w_2\\ x_3& v_3& w_3\end{array}\right]\right)$，其中 $\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$，该变换的几何意义是 “$\vec{x}$、$\vec{v}$、$\vec{w}$ 张成的平行六面体的体积”；
2. 根据对偶性，存在唯一向量 $\vec{p}$，使得 $L(\vec{x})=\vec{p}\cdot \vec{x}$，该 $\vec{p}$ 即为 $\vec{v}\times \vec{w}$；
3. 由点积的几何意义，$\vec{p}$ 需与 $\vec{v}$、$\vec{w}$ 垂直（否则 $\vec{x}$ 在 $\vec{p}$ 上的投影会受 $\vec{v}$、$\vec{w}$ 方向影响，无法对应体积），且长度等于 $\vec{v}$ 与 $\vec{w}$ 张成的平行四边形的面积（体积 = 底面积 × 高，高为 $\vec{x}$ 在 $\vec{p}$ 上的投影长度）。

10 基变换与坐标转换

10.1 基的定义与坐标表示

设 {b1⃗,b2⃗,⋯,bn⃗}\{\vec {b_1}, \vec {b_2}, \cdots, \vec {b_n}\}{b1​​,b2​​,⋯,bn​​} 是 $n$ 维空间的一组基，任意向量 $\vec{x}$ 可唯一表示为：
$$\vec{x}=c_1\overrightarrow{b_1}+c_2\overrightarrow{b_2}+\cdots +c_n\overrightarrow{b_n}$$
其中 $\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ \cdots \\ c_n\end{array}\right]$ 称为 $\vec{x}$ 在基 {b1⃗,⋯,bn⃗}\{\vec {b_1}, \cdots, \vec {b_n}\}{b1​​,⋯,bn​​} 下的坐标。

10.1.2 标准基与非标准基的转换

设标准基为 {ı^,ȷ^}\{\hat {\imath}, \hat {\jmath}\}{^,^​}（二维），非标准基为 {b1⃗,b2⃗}\{\vec {b_1}, \vec {b_2}\}{b1​​,b2​​}，其中 $\overrightarrow{b_1}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$，$\overrightarrow{b_2}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$（用标准基表示）。

• 基变换矩阵：将非标准基向量作为列构成矩阵 $T=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$，称为 “从非标准基到标准基的转换矩阵”；
• 坐标转换：若 $\vec{x}$ 在非标准基下的坐标为 $\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]$，则其在标准基下的坐标为 $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=T\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]$；
• 逆转换：若已知 $\vec{x}$ 在标准基下的坐标，其在非标准基下的坐标为 $\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]=T^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$，其中 $T^{-1}$ 是 $T$ 的逆矩阵。

10.2 线性变换在不同基下的矩阵

设线性变换 $L$ 在标准基下的矩阵为 $M$，在非标准基 {b1⃗,b2⃗}\{\vec {b_1}, \vec {b_2}\}{b1​​,b2​​} 下的矩阵为 $M^{\prime }$，则 $M^{\prime }$ 与 $M$ 的关系为：
$$M^{\prime }=T^{-1}MT$$
其中 $T$ 是从非标准基到标准基的转换矩阵。

10.2.2 几何意义

• $T$：将非标准基下的坐标转换为标准基下的坐标；
• $M$：在标准基下应用线性变换；
• $T^{-1}$：将标准基下的变换结果转换回非标准基下的坐标；
• 整体效果：$M^{\prime }$ 描述了同一线性变换在非标准基下的数字表达。

示例：设 $L$ 是 “左旋转 $90^{\circ }$” 的变换，标准基下的矩阵 $M=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$，非标准基转换矩阵 $T=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$，则非标准基下的变换矩阵为：
$$M^{\prime }=T^{-1}MT=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& -1\end{array}\right]$$

11 特征向量与特征值

11.1 特征向量与特征值的定义

对于 $n$ 阶矩阵 $A$，若存在非零向量 $\vec{v}$ 和标量 $\lambda$，使得：
$$A\vec{v}=\lambda \vec{v}$$
则称 $\vec{v}$ 为 $A$ 的特征向量，$\lambda$ 为对应的特征值。

11.1.2 几何意义

特征向量是线性变换中 “方向不变的向量”—— 经 $A$ 变换后，$\vec{v}$ 仅发生缩放（缩放比例为 $\lambda$），不改变方向（$\lambda >0$）或反向（$\lambda <0$）。

示例：矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$ 对应的变换中，$\hat{ı}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ 是特征向量（$A\hat{ı}=3\hat{ı}$，$\lambda =3$），$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$ 也是特征向量（$A\vec{v}=2\vec{v}$，$\lambda =2$）。

11.2 特征值与特征向量的求解

11.2.1 求解步骤

1. 改写特征方程：$A\vec{v}=\lambda \vec{v}⟹(A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}$；
2. 非零解条件：由于 $\vec{v}\ne \vec{0}$，齐次方程组 $(A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}$ 有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为 $0$，即：
   $$\det (A-\lambda I)=0$$
   该方程称为 $A$ 的特征方程，展开后得到关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式（特征多项式）；
3. 求解特征值：解特征方程得到 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$（可能有重根或复根）；
4. 求解特征向量：对每个 ${\lambda }_i$，解方程组 $(A-{\lambda }_{i}I)\vec{v}=\vec{0}$，得到对应的特征向量 $\overrightarrow{v_i}$。

11.2.2 特殊情况

• 旋转变换：二维旋转变换矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$ 的特征值为复数（$\lambda =e^{\pm i\theta }$），无实特征向量（旋转后所有向量方向改变）；
• 剪切变换：剪切变换矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ 的特征值为 $\lambda =1$（二重根），仅存在一个线性无关的特征向量 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$（无法对角化）；
• 缩放变换：缩放变换矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right]$ 的特征值为 $\lambda =k$（二重根），所有二维向量均为特征向量。

11.3 特征基与矩阵对角化

11.3.1 特征基的定义

若矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}$，则这组特征向量构成的基称为 $A$ 的特征基。

11.3.2 矩阵对角化

设 $P$ 是由特征向量构成的矩阵（$P=\left[\begin{array}{cccc}\overrightarrow{v_1}& \overrightarrow{v_2}& \cdots & \overrightarrow{v_n}\end{array}\right]$），$\Lambda$ 是由对应特征值构成的对角矩阵（$\Lambda =\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]$），则：
$$A=P\Lambda P^{-1}$$
该过程称为矩阵对角化。

• 优势：对角化后矩阵幂运算简化，$A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$，而 ${\Lambda }^k=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^k& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2^k& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n^k\end{array}\right]$（仅需计算特征值的 $k$ 次幂）。

11.3.3 对角化的条件

矩阵可对角化的充要条件是：矩阵有 $n$ 个线性无关的特征向量（或特征值的几何重数等于代数重数）。

12 抽象向量空间

12.1 向量的抽象定义

线性代数的概念不仅适用于 “箭头” 或 “数字列表”，还可扩展到满足 “加法” 与 “数乘” 规则的任意事物（如函数、多项式、矩阵等）。这些事物构成的集合称为抽象向量空间，需满足以下八条公理（设 $\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in V$，$a,b\in \mathbb{R}$）：

1. 加法结合律：$\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$；
2. 加法交换律：$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$；
3. 加法单位元：存在 $\vec{0}\in V$，使得 $\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}$；
4. 加法逆元：对任意 $\vec{v}$，存在 $-\vec{v}\in V$，使得 $\vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}$；
5. 数乘相容性：$a(b\vec{v})=(ab)\vec{v}$；
6. 数乘单位元：$1\cdot \vec{v}=\vec{v}$；
7. 数乘对向量加法的分配律：$a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+a\vec{v}$；
8. 数乘对标量加法的分配律：$(a+b)\vec{v}=a\vec{v}+b\vec{v}$。

12.2 函数空间的示例

以 “所有多项式构成的集合” 为例，其满足抽象向量空间的定义：

• 向量加法：两个多项式 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$ 与 $g(x)=b_n{x}^n+\cdots +b_{1}x+b_0$ 的和为 $f(x)+g(x)=(a_n+b_n)x^n+\cdots +(a_1+b_1)x+(a_0+b_0)$；
• 向量数乘：标量 $c$ 与多项式 $f(x)$ 的数乘为 $cf(x)=c{a}_n{x}^n+\cdots +c{a}_{1}x+c{a}_0$；
• 基与维度：多项式空间的一组基为 {1,x,x2,⋯,xn}\{1, x, x^2, \cdots, x^n\}{1,x,x2,⋯,xn}（$n$ 次多项式空间），维度为 $n+1$。

12.3 线性变换的扩展：线性算子

在抽象向量空间中，“线性变换” 称为线性算子，需满足与线性变换相同的条件（可加性与数乘性）。

12.3.1 导数算子的示例

导数是多项式空间上的线性算子（记为 $D$）：

• 对任意多项式 $f(x)$，$D(f(x))=f^{\prime }(x)$；
• 线性验证：$D(f(x)+g(x))=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)=D(f(x))+D(g(x))$，$D(cf(x))=c{f}^{\prime }(x)=cD(f(x))$；
• 矩阵表示：以 {1,x,x2}\{1, x, x^2\}{1,x,x2} 为基，多项式 $f(x)=a+bx+c{x}^2$ 的坐标为 $\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$，导数 $D(f(x))=b+2cx$ 的坐标为 $\left[\begin{array}{c}b\\ 2c\\ 0\end{array}\right]$，对应的算子矩阵为：
  $$D=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

12.4 概念的统一

抽象向量空间中，线性代数的核心概念（如点积、特征向量）可对应扩展，不同领域的术语本质一致：

线性代数术语	抽象向量空间术语	示例（函数空间）
线性变换	线性算子	导数 $D(f(x))=f^{\prime }(x)$
点积	内积	$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$（积分内积）
特征向量	特征函数	微分方程 $D(f(x))=\lambda f(x)$ 的解 $f(x)=e^{\lambda x}$

13 总结

线性代数的本质是 “空间变换的数学描述”，其核心概念可通过几何直观与抽象统一理解：
1.向量：不仅是箭头或数字列表，更是满足加法与数乘规则的抽象对象；
2.矩阵：线性变换的数字表达，列向量对应基向量的变换结果；
3.行列式：空间体积的缩放比例，决定矩阵是否可逆；
4.特征向量 / 值：变换中方向不变的向量与对应的缩放比例，是理解变换本质的关键；
5.抽象向量空间：将线性代数的规律扩展到任意满足公理的集合，实现概念的普适性。

学习线性代数的关键在于 “建立直观” 而非 “记忆公式”，通过几何视角理解概念间的联系，才能在工程应用（如机器学习、机器人控制）中灵活运用，而非局限于计算层面。

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via:

• 【直观详解】线性代数的本质 | Go Further | Stay Hungry, Stay Foolish
  https://charlesliuyx.github.io/2017/10/06/【直观详解】线性代数的本质/

• Determinant - Note201.pdf
  https://math.ntnu.edu.tw/~li/Linear/Note201.pdf