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前言

欧几里得空间这一章节所串联知识点较多，综合性较强，其可以视为第六章线性空间的一个具体特例——保持内积不变的线性空间。此外，本章更多的涉及到实数范围内正交标准型的矩阵计算，还有施密特正交化等诸多综合性知识点需要着重考虑。因此在本章的学习中，应该首先掌握斯密特正交化等基本计算方法，其次更重要的就是厘清标准正交基之间的种种关系，在做题过程中才可以有的放矢。

欧几里得空间的基本要素

欧几里得空间作为一种特殊的线性空间——保持内积不变，其本质上还是一种线性空间，仍然具有维度、基与坐标等基本要素，在学习过程中尤其要注意施密特正交化的基本方法，先正交化、再单位化，尤其要注意计算过程中把握细节。

变换与子空间

在本章还涉及到了正交变换，其实其本质上也属于线性变换的一种基本形式，其也具有着相关性质，也可以进行子空间分解这一解题思路进行题目求解。在学习过程中，注意知识的迁移性应用。

实对称矩阵的标准型

本章最为核心的部分便是对于实对称矩阵的处理，通过正交变换构造正交基底使矩阵化为对角形。此时的初等矩阵的特征更为明显，均可以作为正交基底进行计算与分析，学至此，将矩阵的标准型学习终于前后呼应，首尾相连，以后再进行矩阵的相关标准型变换时，更需要仔细运算。

课本经典习题回顾