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【Unity每日一记】Unity三维数学进阶：齐次坐标、万向节锁与四元数详解

news 2025/10/13 13:15:34

📐 一、齐次坐标（Homogeneous Coordinates）

1.1 基本概念

齐次坐标是通过引入n+1维向量来表示n维空间中的点，在三维图形学中具有重要意义。

1.2 坐标表示形式

类型齐次坐标说明
坐标点(x, y, z, 1)表示三维空间中的一个点
向量(x, y, z, 0)表示三维空间中的一个方向向量

1.3 数学表示

标准三维坐标 → 齐次坐标
点：P(x, y, z) → P'(x, y, z, 1)
向量：V(x, y, z) → V'(x, y, z, 0)

1.4 在Unity中的应用

// Unity中的齐次坐标应用
Vector4 point = new Vector4(1, 2, 3, 1);    // 点
Vector4 vector = new Vector4(1, 2, 3, 0);   // 向量// 矩阵变换（使用齐次坐标）
Matrix4x4 transformationMatrix = Matrix4x4.TRS(new Vector3(1, 2, 3), Quaternion.identity, Vector3.one
);Vector4 transformedPoint = transformationMatrix * point;

1.5 优势与用途

  • ✅ 统一变换：平移、旋转、缩放可以用同一个矩阵表示
  • ✅ 透视投影：方便实现透视除法
  • ✅ 区分点与向量：w分量为0表示向量，1表示点

1.6 实例演示：点和向量的转换

public class HomogeneousExample : MonoBehaviour
{void Start(){// 实例1：点和向量的区别Vector4 pointA = new Vector4(1, 2, 3, 1);    // 点AVector4 pointB = new Vector4(4, 5, 6, 1);    // 点BVector4 vectorAB = pointB - pointA;          // 向量AB：(3, 3, 3, 0)Debug.Log("点A: " + pointA);Debug.Log("点B: " + pointB);Debug.Log("向量AB: " + vectorAB);// 实例2：平移变换Matrix4x4 translation = Matrix4x4.Translate(new Vector3(2, 0, 0));Vector4 translatedPoint = translation * pointA;Debug.Log("平移后的点: " + translatedPoint);}
}

🔄 二、万向节锁（Gimbal Lock）

2.1 问题定义

万向节锁是欧拉角表示旋转时的一个固有缺陷，当第二个旋转轴旋转90°时，会导致第一个和第三个旋转轴重合，失去一个自由度。

2.2 实际示例

// 万向节锁示例
public class GimbalLockExample : MonoBehaviour
{void Update(){// 当Y轴旋转接近90°时可能出现万向节锁float yRotation = 89f; // 接近临界值// 欧拉角旋转（可能产生万向节锁）transform.eulerAngles = new Vector3(30f, yRotation, 45f);// 使用四元数避免万向节锁transform.rotation = Quaternion.Euler(30f, yRotation, 45f);}
}

2.3 影响与解决方案

问题影响解决方案
旋转轴重合失去一个旋转自由度使用四元数
插值异常旋转路径不自然四元数球面插值
动画抖动关键帧之间跳动使用Quaternion.Lerp

2.4 实例演示：摄像机控制系统

public class CameraController : MonoBehaviour
{public float rotationSpeed = 2f;private float currentYaw = 0f;private float currentPitch = 0f;void Update(){// 获取鼠标输入float mouseX = Input.GetAxis("Mouse X");float mouseY = Input.GetAxis("Mouse Y");// ❌ 有风险的欧拉角方式（可能产生万向节锁）// Vector3 euler = transform.eulerAngles;// euler.y += mouseX * rotationSpeed;// euler.x -= mouseY * rotationSpeed;// transform.eulerAngles = euler;// ✅ 安全的四元数方式currentYaw += mouseX * rotationSpeed;currentPitch -= mouseY * rotationSpeed;currentPitch = Mathf.Clamp(currentPitch, -80f, 80f);Quaternion rotation = Quaternion.Euler(currentPitch, currentYaw, 0);transform.rotation = rotation;}
}

🧊 三、四元数（Quaternions）

3.1 基本概念

四元数是高阶复数系统，用于表示三维空间中的旋转，形式为：q = w + xi + yj + zk

3.2 数学表示

四元数：q = (w, x, y, z)
其中：i² = j² = k² = ijk = -1

3.3 Unity中的四元数

// 创建四元数
Quaternion rotation = Quaternion.identity;  // 单位四元数// 通过欧拉角创建四元数
Quaternion eulerRotation = Quaternion.Euler(30f, 45f, 60f);// 通过轴角创建四元数
Quaternion axisAngle = Quaternion.AngleAxis(90f, Vector3.up);

3.4 四元数运算

// 四元数乘法（旋转组合）
Quaternion combined = rotationA * rotationB;// 四元数插值
Quaternion smoothRotation = Quaternion.Slerp(from, to, t);// 线性插值（性能更好）
Quaternion lerpRotation = Quaternion.Lerp(from, to, t);

3.5 四元数优势

特性优势应用场景
无万向节锁避免旋转自由度丢失连续旋转动画
平滑插值球面线性插值更自然摄像机跟随
计算高效比矩阵乘法更高效实时图形渲染
数值稳定避免浮点数误差累积长期运行应用

3.6 实例演示：敌人AI朝向系统

public class EnemyAI : MonoBehaviour
{public Transform player;public float rotationSpeed = 2f;public float attackRange = 5f;void Update(){if (player == null) return;// 计算朝向玩家的方向Vector3 directionToPlayer = player.position - transform.position;// 使用LookRotation创建目标旋转Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(directionToPlayer);// 平滑旋转朝向玩家transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, targetRotation, rotationSpeed * Time.deltaTime);// 检查是否在攻击范围内if (directionToPlayer.magnitude <= attackRange){AttackPlayer();}}void AttackPlayer(){Debug.Log("攻击玩家！");}
}

3.7 实例演示：炮塔追踪系统

public class TurretController : MonoBehaviour
{public Transform target;public Transform turretBase;    // 炮塔底座（水平旋转）public Transform turretBarrel;  // 炮管（俯仰旋转）public float rotationSpeed = 90f;void Update(){if (target == null) return;// 计算水平方向（Y轴旋转）Vector3 horizontalDirection = target.position - turretBase.position;horizontalDirection.y = 0; // 忽略高度差，只计算水平方向Quaternion targetHorizontalRotation = Quaternion.LookRotation(horizontalDirection);turretBase.rotation = Quaternion.RotateTowards(turretBase.rotation, targetHorizontalRotation, rotationSpeed * Time.deltaTime);// 计算俯仰角度Vector3 barrelDirection = target.position - turretBarrel.position;Quaternion targetVerticalRotation = Quaternion.LookRotation(barrelDirection);turretBarrel.rotation = Quaternion.RotateTowards(turretBarrel.rotation, targetVerticalRotation, rotationSpeed * Time.deltaTime);}
}

🎯 四、实际应用对比

4.1 旋转表示方法比较

方法优点缺点适用场景
欧拉角直观易理解万向节锁问题简单的单轴旋转
四元数无万向节锁，插值平滑数学复杂，不直观复杂旋转，动画
旋转矩阵数学基础扎实，可组合存储空间大，计算复杂底层图形运算

4.2 Unity中的最佳实践

public class RotationBestPractices : MonoBehaviour
{public Transform target;public float rotationSpeed = 2f;void Update(){// ❌ 避免：直接修改欧拉角（可能产生万向节锁）// transform.eulerAngles += new Vector3(0, rotationSpeed, 0);// ✅ 推荐：使用四元数进行旋转transform.rotation = Quaternion.AngleAxis(rotationSpeed * Time.deltaTime, Vector3.up) * transform.rotation;// ✅ 平滑朝向目标if (target != null){Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(target.position - transform.position);transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, targetRotation, rotationSpeed * Time.deltaTime);}}
}

4.3 实例演示：第三人称摄像机系统

public class ThirdPersonCamera : MonoBehaviour
{public Transform target;public Vector3 offset = new Vector3(0, 2, -5);public float rotationSpeed = 3f;public float zoomSpeed = 2f;private float currentYaw = 0f;private float currentPitch = 30f;private float currentZoom = 5f;void LateUpdate(){if (target == null) return;// 鼠标输入控制旋转if (Input.GetMouseButton(1)) // 右键拖动{currentYaw += Input.GetAxis("Mouse X") * rotationSpeed;currentPitch -= Input.GetAxis("Mouse Y") * rotationSpeed;currentPitch = Mathf.Clamp(currentPitch, -10f, 80f);}// 鼠标滚轮缩放currentZoom -= Input.GetAxis("Mouse ScrollWheel") * zoomSpeed;currentZoom = Mathf.Clamp(currentZoom, 2f, 10f);// 使用四元数计算旋转（避免万向节锁）Quaternion rotation = Quaternion.Euler(currentPitch, currentYaw, 0);// 计算摄像机位置Vector3 desiredPosition = target.position + rotation * (Vector3.forward * -currentZoom + offset);// 应用变换transform.rotation = rotation;transform.position = desiredPosition;}
}

💡 五、关键知识点总结

5.1 齐次坐标核心要点

  • 🎯 定义：用n+1维向量表示n维空间
  • 🔍 区分：点(w=1) vs 向量(w=0)
  • 🚀 应用：统一变换矩阵，透视投影

5.2 万向节锁理解要点

  • ⚠️ 成因：欧拉角第二个旋转轴旋转90°
  • 🔄 现象：两个旋转轴重合，失去自由度
  • 🛠️ 解决：使用四元数替代欧拉角

5.3 四元数掌握要点

  • 🧮 形式：q = w + xi + yj + zk
  • ✅ 优势：无万向节锁，平滑插值
  • 🎮 应用：Unity中所有旋转操作的基础

🧪 六、练习与思考

6.1 动手练习

  1. 创建四元数旋转：实现物体绕任意轴旋转
  2. 坐标系转换：使用齐次坐标实现点在不同坐标系间转换
  3. 万向节锁演示：用欧拉角重现万向节锁现象

6.2 思考问题

  • 🤔 为什么四元数能避免万向节锁？
  • 🔄 齐次坐标中的w分量在透视投影中起什么作用？
  • 🎯 在实际项目中如何选择旋转表示方法？

6.3 实例演示：物体环绕运动

public class OrbitalMotion : MonoBehaviour
{public Transform centerObject;public float radius = 3f;public float revolutionSpeed = 30f; // 公转速度public float rotationSpeed = 90f;    // 自转速度private float currentAngle = 0f;void Update(){if (centerObject == null) return;// 更新公转角度currentAngle += revolutionSpeed * Time.deltaTime;// 计算轨道位置（使用四元数）Quaternion orbitRotation = Quaternion.Euler(0, currentAngle, 0);Vector3 orbitPosition = centerObject.position + orbitRotation * Vector3.forward * radius;// 应用位置和旋转transform.position = orbitPosition;transform.Rotate(Vector3.up, rotationSpeed * Time.deltaTime);// 始终朝向中心物体transform.LookAt(centerObject);}
}

💡 提示：在Unity中创建测试场景，亲自体验不同旋转方法的效果差异！

🎯 实战练习项目

项目1：太阳系模拟

public class SolarSystem : MonoBehaviour
{public Transform sun;public Transform earth;public Transform moon;void Update(){// 地球绕太阳公转earth.RotateAround(sun.position, Vector3.up, 30 * Time.deltaTime);// 月球绕地球公转moon.RotateAround(earth.position, Vector3.up, 120 * Time.deltaTime);// 所有天体自转sun.Rotate(Vector3.up, 10 * Time.deltaTime);earth.Rotate(Vector3.up, 50 * Time.deltaTime);moon.Rotate(Vector3.up, 20 * Time.deltaTime);}
}

项目2：FPS武器瞄准系统

public class WeaponAim : MonoBehaviour
{public Transform weapon;public Transform target;public float aimSpeed = 5f;void Update(){if (target == null) return;// 计算瞄准方向Vector3 aimDirection = target.position - weapon.position;// 使用四元数平滑瞄准Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(aimDirection);weapon.rotation = Quaternion.Slerp(weapon.rotation, targetRotation, aimSpeed * Time.deltaTime);}
}

通过以上丰富的实例和练习，你应该能够深入理解齐次坐标、万向节锁和四元数在Unity开发中的重要应用！

http://www.dtcms.com/a/475272.html

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