什么是自相关分析（ACF）？

一、自相关分析（ACF）的核心定义

自相关分析（Autocorrelation Analysis）通过自相关函数（Autocorrelation Function, ACF） 量化同一时间序列在不同滞后期的相关性——简单说，就是衡量“当前时刻的数据”与“过去某一时刻（滞后k期）的数据”之间的线性关联程度。

关键特征：

1. 分析对象：仅针对单一时间序列（如每日销量、每月气温），区别于“互相关（CCF）”（分析两个不同序列的相关性）。
2. 取值范围：ACF值 ∈ [-1, 1]，含义如下：
   • ACF = 1：完全正相关（滞后k期的数据与当前数据变化趋势完全一致，如“今天销量高，去年同期销量也高”）；
   • ACF = -1：完全负相关（变化趋势完全相反，如“今天销量高，半年前同期销量低”）；
   • ACF ≈ 0：几乎无相关（滞后k期的数据与当前数据无关，如“今天股价与一周前股价无关联”）。
3. 核心作用：识别时间序列的周期性（如年度季节性）、判断序列是否为随机序列（随机序列的ACF快速趋近于0）、为时序建模（如ARIMA）提供参数依据。

二、自相关系数（ACF）的计算方法

自相关系数是“标准化的自协方差”——通过除以序列的方差，将结果约束在[-1, 1]范围内。计算步骤分为3步，以下以时间序列 X={x1,x2,...,xn}X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}X={x1​,x2​,...,xn​}（n为数据量）、滞后期为k为例：

步骤1：计算序列的均值（μ）

均值是序列的平均水平，用于消除数据整体偏移的影响：

$$\mu =\frac{1}{n}\sum _{t=1}^n{x}_t$$

其中， $x_t$ 是第t时刻的序列值，n是数据总个数。

步骤2：计算滞后k期的自协方差（γₖ）

自协方差衡量“当前数据 $x_t$ ”与“滞后k期数据 $x_{t-k}$ ”的“共同变化程度”，公式为：

$${\gamma }_k=\frac{1}{n}\sum _{t=k+1}^n(x_t-\mu )(x_{t-k}-\mu )$$

• 当k=0时，自协方差就是序列的方差（ ${\gamma }_0=\text{Var}(X)$ ），因为滞后0期即序列自身。
• 分母用n还是n-k？实际计算中，小样本常用n（简化计算），大样本常用n-k（减少偏差），工具库（如statsmodels）会自动处理。

步骤3：计算滞后k期的自相关系数（ρₖ）

通过“自协方差除以方差”标准化，得到ACF值：

$${\rho }_k=\frac{{\gamma }_k}{{\gamma }_0}=\frac{{\sum }_{t=k+1}^n(x_t-\mu )(x_{t-k}-\mu )}{{\sum }_{t=1}^n(x_t-\mu {)}^2}$$

示例：手动计算小数据的ACF

假设序列 $X=[1,3,5,7,9]$ （n=5），计算滞后1期（k=1）的ACF：

1. 算均值： $\mu =(1+3+5+7+9)/5=5$ ；
2. 算自协方差（γ₁）：
   $$(1-5)(3-5)+(3-5)(5-5)+(5-5)(7-5)+(7-5)(9-5)=(-4)(-2)+(-2)(0)+0(2)+2(4)=8+0+0+8=16,$$
   $${\gamma }_1=16/5=3.2；$$
3. 算方差（γ₀）：
   $$(1-5{)}^2+(3-5{)}^2+(5-5{)}^2+(7-5{)}^2+(9-5{)}^2=16+4+0+4+16=40，$$
   $${\gamma }_0=40/5=8；$$
4. 算ACF（ρ₁）： ${\rho }_1=3.2/8=0.4$ （弱正相关，符合“序列递增，滞后1期数据与当前数据同向变化”）。

实际工具

手动计算仅适用于小数据，实际中常用Python的statsmodels.tsa.stattools.acf或R的acf()函数，自动处理滞后期、置信区间等，避免计算误差。

三、3个自相关分析（ACF）的实例

ACF的核心价值是“从时间关联性中挖掘业务规律”，以下通过零售、气象、金融3个领域的实例，展示其具体应用。

实例1：零售行业——奶茶店销量的季节性识别

背景

某奶茶店2023年1-12月销量（单位：杯）：[5800, 5200, 6300, 7100, 7800, 9500, 10200, 9800, 8500, 8200, 7500, 6800]，需判断是否存在季节性。

ACF分析步骤

1. 选择滞后期k：0-12（覆盖1年周期）；
2. 计算各滞后期ACF值（关键结果如下）：

   滞后期k	0	1	6	12
   ACF值	1.0	0.35	-0.72	0.85

3. 置信区间：n=12，95%置信区间为±1.96/√12 ≈ ±0.566。

结果解读

• k=12：ACF=0.85（远超置信区间），说明“2023年1月销量”与“2022年1月销量”（假设数据存在）高度正相关——存在12个月的年度季节性（夏季销量高，冬季低）；
• k=6：ACF=-0.72（负相关且显著），说明“6月（夏季）销量”与“12月（冬季）销量”反向波动，进一步验证季节性；
• 业务价值：基于ACF结果，可建立SARIMA模型预测2024年销量，夏季提前备货，冬季减少库存，降低浪费。

实例2：气象领域——城市日降雨量的“连雨天”判断

背景

某城市2024年1-30日的日降雨量（单位：mm），需分析“是否存在连雨天”（即今天下雨，明天是否更可能下雨）。

ACF分析步骤

1. 选择滞后期k：0-7（覆盖1周，符合短期天气关联性）；
2. 计算各滞后期ACF值（关键结果如下）：

   滞后期k	0	1	2	7
   ACF值	1.0	0.62	0.28	0.05

3. 置信区间：n=30，95%置信区间为±1.96/√30 ≈ ±0.358。

结果解读

• k=1：ACF=0.62（显著正相关），说明“当天降雨量”与“前1天降雨量”高度相关——存在连雨天规律（今天下雨，明天大概率也下雨）；
• k=2：ACF=0.28（落入置信区间），相关性减弱，说明“连雨天通常持续1-2天”；
• k=7：ACF=0.05（接近0），说明“本周一降雨量”与“上周一降雨量”无关联，无周度降雨周期；
• 业务价值：气象部门可基于ACF结果，短期降雨预报时参考前1天数据，提升准确率，帮助防汛部门提前准备。

实例3：金融领域——股票日收益的“随机游走”验证

背景

某股票2024年1-20个交易日的日收益（收益率=（当日收盘价-前一日收盘价）/前一日收盘价），需判断收益是否为“随机游走”（即无法通过历史收益预测未来）。

ACF分析步骤

1. 选择滞后期k：0-5（短期收益关联性通常不超过5天）；
2. 计算各滞后期ACF值（关键结果如下）：

   滞后期k	0	1	2	5
   ACF值	1.0	0.08	-0.12	0.03

3. 置信区间：n=20，95%置信区间为±1.96/√20 ≈ ±0.438。

结果解读

• k=1,2,5：ACF值均在置信区间内（接近0），说明“当日收益”与“过去1-5日收益”几乎无关联——收益符合随机游走特性；
• 业务价值：对投资者而言，该股票短期收益无法通过历史数据预测，需避免“根据前几日收益买卖”的策略，应关注公司基本面（如营收、利润）而非短期价格波动。

四、总结：ACF的核心应用场景

1. 识别周期性：如零售的年度/周度季节性、工业设备的运行周期；
2. 判断序列随机性：如金融收益是否随机、生产数据是否存在异常波动；
3. 时序建模依据：如ARIMA模型的阶数选择（通过ACF图判断q值）、是否需要差分处理。

通过ACF分析，可将“时间序列的隐性关联性”转化为可量化的指标，为业务决策提供数据支撑，避免仅凭经验判断的偏差。