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抽像代数概念理解——同构(isomorphism)

news 2025/10/12 16:02:15

1. Isomorphism的词源

2. Isomorphism在数学中的引入

3. 同构的定义

4. 同构的例子

1. Isomorphism的词源

isomorphism[ˌaɪsəʊˈmɔːfɪzəm],来源于 iso- + morphe , iso-词义为“equal, similar, identical; isometric(等于，相似，等同，等距)”，而morphe 词义为“form, appearance(形式，呈现)”，据称这个词由德国化学家Eilhard Mitscherlich (1794-1863)所造。这里主要强调其相同之处。

2. Isomorphism在数学中的引入

isomorphism(形容词isomorphic)这个术语最早用于化学中的晶体学(crystallography)。1864年之前的一些地质学书籍提到了晶体(crystals)之间的“几何同构”或“数学同构”。

同构的概念最早由 J. J. Sylvester 于 1864 年在《哲学汇刊》(Philosophical Transactions)上的《代数方程的实根和虚根：三部曲》(The Real And Imaginary Roots Of Algebraical Equations: A Trilogy)中使用：

“To every point in space, it has been remarked, will correspond one particular family of equations all of the same character as regards the number they contain of real or imaginary roots, because capable of being derived from one another by real linear substitutions, such family consisting of an infinite number of ordinary or conjugate equations according as the point is facultative or non-facultative; but it may be well to notice that, conversely, every point does not correspond to a distinct family. In fact every point in the curves Johann Bernoulli (p, q being constants) will denote a curve divided into two branches by the origin of coordinates, one of which will be facultative and the other non-facultative; but in each separate branch every point will represent the very same family. Any such separate branch may be termed an isomorphic line; and we see that the whole of space may be conceived as permeated by and made up of such lines radiating out from the origin in all directions.”(有人指出，空间中的每一点都对应着一族特定的方程，这些方程在实根或虚根在数量方面具有相同的性质，因为它们可以通过实数线性代换相互导出。这类方程族包含无数个普通方程或共轭方程，具体取决于该点是任意的还是非任意的；但值得注意的是，反过来，并非每一个点都对应一个特定的方程族。事实上，Johann Bernoulli曲线(p、q 为常数)上的每一点都表示一条由坐标原点分成两条分支的曲线，其中一条是任意的，另一条是非任意的；但在每个独立的分支中，每个点都代表同一个方程族。任何这样的独立分支都可以称为同构线；我们看到，整个空间可以认为是由从原点向各个方向辐射的此类线所渗透和构成的。)

在1870 年，Camille Jordan 在《代数方程与代数方程论》(Traité Des Substitutions Et Des équations Algébriques)中写道(第 56 页)：

“Un groupe Γ est dit isomorphe à un autre groupe G, si l'on peut établir entre leurs substitutions une correspondance telle : i° que chaque substitution de G corresponde à une seule substitution de Γ, et chaque substitution de Γ à une ou plusieurs substitutions de G; 2° que le produit de deux substitutions quelconques de G corresponde au produit de leurs correspondantes respectives.”(如果群Γ的替换之间能建立一一对应关系，则称群G与群G’ 同构：i) G的每一个替换对应于Γ的一个替换，或 G的每一个替换对应于G的一个或多个替换；ii) G的任意两个替换的乘积对应于它们各自对应项的乘积。)

Walter Dyck(1856-1934)于 1882 年在《群论研究》(Gruppentheoretische Studien)(Katz，第 675 页）中使用了同构。

3. 同构的定义

同态的类型三种(设一个同态映射为 𝜙 : G ⟶ H )：

• 单射(one-to-one或injective),这种情况称为嵌入(embedding)，群G作为一个子群嵌入到 H 中，如果群 G 不是单射的，则其为一个商群(quotient)。定义域中的每一不同元素对应值域中不同的元素，但并非值域的每一个像都被映射上定义域中的元素。

• 满射(onto或surjective)，值域中的每一个元素必有原像，但不要求元素不同，所以不是一对一的，但值域中每一个元素都被映射上，所以也称映上的。

• 双射(bijective)，满足单射和满射的映射。定义域中的每一个不同的元素都有不同的像，且值域中的每一个元素必有原像，这是真正的“一对一”映射，双侧集合的元素都唯一地映上，这就保证了映射具有逆映射。

同构之定义(isomorphism)：一个满足双射的同态是一个同构，一个到其自身的同态称为一个自同构(automorphism)。

当两个群同构时，则在某种意义上，它们在结构上是相等的(equal)，虽然它们看起来不一样，但它们具有相同的属性，这种关系类似于对元素重命名。不同之处在于，它们的元素标记的(labeled)不同。同构给了我们标记的(labeling)关键，有了它，如果我们已知一个群中的运算，则我们就能在另一个与之同构的群中执行类似的运算。同构就像一本词典，其使得我们可以将相同意义的句子，从用一种语言实现的表达翻译成用另一种语言来表达。(遗憾的是，不存在这样一部完美的辞典，因为在语言的单词中，没有单个的意义(往往一个单词有多个词义)，而细微差别(nuances)无法通过直译体现出来。) 但仅仅称一种语言中的某个句子可以用另一种语言表达出来，这并不重要；重要的是我们需要这部词典来执行翻译。类似地，已知两个群同构可能也并不重要，而有趣的对象恰恰是同构本身。因此，只要我们能证明两个群是同构的，我们将尽力展示产生同构的精确映射。

比如，两个字符串是同构的：假设有两个字符串“abc”和“def”。它们是同构的，因为你可以将“a”替换为“d”，将“b”替换为“e”，将“c”替换为“f”，从而将第一个字符串转换为第二个字符串。所有“a”都会变成“d”，并且第一个字符串中任何两个不同的字符都不会映射到第二个字符串中的相同字符。