NSGA-II算法在MATLAB中求解单目标和多目标函数极值
一、算法原理与适用场景
NSGA-II（非支配排序遗传算法II） 是解决多目标优化问题的经典算法，通过非支配排序和拥挤度计算维护种群多样性。虽然其设计初衷是多目标优化，但通过调整也可处理单目标问题。以下是其核心特点：
- 多目标优化：同时优化多个冲突目标，生成Pareto最优解集
- 单目标优化：通过添加辅助目标（如约束违反度）转化为多目标问题
- 关键优势：收敛性强、解集分布均匀、适合高维问题
二、MATLAB实现框架
1. 基础结构（多目标优化）
function nsga2_demo()% 参数设置nPop = 100; % 种群大小maxGen = 50; % 最大迭代次数nObj = 2; % 目标函数维度varSize = ; % 决策变量维度lb = ; % 下限ub = ; % 上限% 初始化种群pop = repmat(struct(), nPop, 1);for i = 1:nPoppop(i).pos = lb + (ub-lb).*rand(varSize);[pop(i).f, pop(i).g] = objFunc(pop(i).pos);end% 主循环for gen = 1:maxGen% 选择操作（锦标赛选择）parents = tournamentSelect(pop, nPop/2);% 交叉变异offspring = geneticOperators(parents, varSize, lb, ub);% 合并种群combined = [pop; offspring];% 非支配排序[fronts, ~] = nonDominatedSort(combined);% 拥挤度计算crowding = calcCrowdingDistance(combined, fronts);% 选择下一代pop = selectNextGen(combined, fronts, crowding, nPop);end% 绘制Pareto前沿plotPareto(fronts{1}.f);
end
2. 关键函数实现
(1) 目标函数定义
function [f, g] = objFunc(x)% 示例：ZDT1测试函数（多目标）f1 = x(1);g = 1 + 9*sum(x(2:end))/(length(x)-1);f2 = g*(1 - sqrt(f1/g));f = [f1, f2];
end
(2) 非支配排序
function [fronts, ranks] = nonDominatedSort(pop)n = numel(pop);fronts = {};ranks = zeros(n,1);dominated = zeros(n,1);dominatesList = cell(n,1);for i = 1:nfor j = 1:nif i ~= jif dominates(pop(i).f, pop(j).f)dominatesList{i} = [dominatesList{i}, j];elseif dominates(pop(j).f, pop(i).f)dominated(i) = dominated(i) + 1;endendendif dominated(i) == 0fronts{1} = [fronts{1}, i];ranks(i) = 1;endendk = 1;while ~isempty(fronts{k})nextFront = [];for i = fronts{k}for j = dominatesList{i}dominated(j) = dominated(j) - 1;if dominated(j) == 0nextFront = [nextFront, j];endendendk = k + 1;fronts{k} = nextFront;end
endfunction isDominate = dominates(a, b)isDominate = all(a <= b) && any(a < b);
end
(3) 拥挤度计算
function crowding = calcCrowdingDistance(combined, fronts)crowding = zeros(size(combined));for f = frontsfrontIdx = f{1};n = numel(frontIdx);if n == 1crowding(frontIdx) = Inf;continue;endfor m = 1:size(combined(1).f, 2)[~, sortIdx] = sort([combined(frontIdx).f(:,m)]);crowding(frontIdx(sortIdx(1))) = Inf;crowding(frontIdx(sortIdx(end))) = Inf;for i = 2:n-1crowding(frontIdx(sortIdx(i))) = crowding(frontIdx(sortIdx(i))) + ...(combined(frontIdx(sortIdx(i+1))).f(:,m) - combined(frontIdx(sortIdx(i-1))).f(:,m)) / ...(max(combined.f(:,m)) - min(combined.f(:,m)));endendend
end
三、单目标优化改造方案
虽然NSGA-II专为多目标设计，但可通过以下方式处理单目标问题：
-
伪多目标转化
添加虚拟目标函数（如约束违反度）：
function [f, g] = singleObjWrapper(x)f1 = objective(x); % 原目标函数g1 = 0; % 虚拟目标（无约束时）f = [f1, g1]; end -
参数调整建议 种群大小：增大至200-500 交叉概率：提高至0.9-0.95 变异概率：降低至0.01-0.05
四、工程应用案例
案例1：液压系统参数优化
% 目标函数：压力波动最小化 + 能耗最小化
function [f, g] = hydraulicObj(x)f1 = std(x(1:3)); % 压力波动f2 = sum(x(4:6)); % 能耗f = [f1, f2];
end% 约束条件：工作压力范围
function [c, ceq] = constraints(x)c = [x(1) - 200; % 最小压力300 - x(1)]; % 最大压力ceq = [];
end
案例2：电力系统经济调度
% 目标函数：发电成本最小化 + 排放最小化
function [f, g] = powerObj(x)f1 = sum(x(1:3).*costMatrix); % 发电成本f2 = sum(x(4:6).*emissionMatrix); % 排放f = [f1, f2];
end% 约束条件：功率平衡
function [c, ceq] = constraints(x)c = sum(x(1:3)) - 1000; % 总发电量=1000MWceq = [];
end
五、优化
-
并行计算加速
parfor i = 1:nPoppop(i).f = objFunc(pop(i).pos); end -
自适应参数调整
function pc = adaptiveCrossover(gen, maxGen)pc = 0.8 + 0.1*(gen/maxGen); % 线性递增 end -
混合优化策略
% NSGA-II + 模拟退火 if rand < 0.1pop = localSearch(pop); % 局部扰动 end
六、结果分析
% 绘制Pareto前沿
figure;
hold on;
colors = hsv(size(fronts{1}.f,1));
for i = 1:size(fronts{1}.f,1)plot(fronts{1}.f(i,1), fronts{1}.f(i,2), 'o', 'Color', colors(i,:), 'MarkerSize',10);
end
xlabel('Objective 1');
ylabel('Objective 2');
title('Pareto Front');
grid on;
七、参考
- MATLAB官方工具箱 Global Optimization Toolbox Reinforcement Learning Toolbox
- 参考代码 NSGA2求解单目标或者多目标函数的极值 www.youwenfan.com/contentcsi/63794.html
- 进阶文献 Deb, K., et al. “A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II.” IEEE TEVC 2002. 《多目标优化算法与应用》（胡包钢）