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【P8815 [CSP-J 2022] 逻辑表达式】

news 2025/10/12 14:59:29

题目：P8815 [CSP-J 2022] 逻辑表达式

题目描述

逻辑表达式是计算机科学中的重要概念和工具，包含逻辑值、逻辑运算、逻辑运算优先级等内容。

在一个逻辑表达式中，元素的值只有两种可能： $0$ （表示假）和 $1$ （表示真）。元素之间有多种可能的逻辑运算，本题中只需考虑如下两种：“与”（符号为 &）和“或”（符号为 |）。其运算规则如下：

$\mathbin{\&} 0 = 0 \mathbin{\&} 1 = 1 \mathbin{\&} 0 = 0$ ， $\mathbin{\&} 1 = 1$ ；
$\mathbin{|} 0 = 0$ ， $\mathbin{|} 1 = 1 \mathbin{|} 0 = 1 \mathbin{|} 1 = 1$ 。

在一个逻辑表达式中还可能有括号。规定在运算时，括号内的部分先运算；两种运算并列时，& 运算优先于 | 运算；同种运算并列时，从左向右运算。

比如，表达式 0|1&0 的运算顺序等同于 0|(1&0)；表达式 0&1&0|1 的运算顺序等同于 ((0&1)&0)|1。

此外，在 C++ 等语言的有些编译器中，对逻辑表达式的计算会采用一种“短路”的策略：在形如 a&b 的逻辑表达式中，会先计算 a 部分的值，如果 $a = 0$ ，那么整个逻辑表达式的值就一定为 $0$ ，故无需再计算 b 部分的值；同理，在形如 a|b 的逻辑表达式中，会先计算 a 部分的值，如果 $a = 1$ ，那么整个逻辑表达式的值就一定为 $1$ ，无需再计算 b 部分的值。

现在给你一个逻辑表达式，你需要计算出它的值，并且统计出在计算过程中，两种类型的“短路”各出现了多少次。需要注意的是，如果某处“短路”包含在更外层被“短路”的部分内则不被统计，如表达式 1|(0&1) 中，尽管 0&1 是一处“短路”，但由于外层的 1|(0&1) 本身就是一处“短路”，无需再计算 0&1 部分的值，因此不应当把这里的 0&1 计入一处“短路”。

输入格式

输入共一行，一个非空字符串 $s$ 表示待计算的逻辑表达式。

输出格式

输出共两行，第一行输出一个字符 0 或 1，表示这个逻辑表达式的值；第二行输出两个非负整数，分别表示计算上述逻辑表达式的过程中，形如 a&b 和 a|b 的“短路”各出现了多少次。

输入输出样例 #1

输入 #1

0&(1|0)|(1|1|1&0)

输出 #1

1
1 2

输入输出样例 #2

输入 #2

(0|1&0|1|1|(1|1))&(0&1&(1|0)|0|1|0)&0

输出 #2

0
2 3

说明/提示

【样例解释 #1】

该逻辑表达式的计算过程如下，每一行的注释表示上一行计算的过程：

0&(1|0)|(1|1|1&0)
=(0&(1|0))|((1|1)|(1&0)) //用括号标明计算顺序
=0|((1|1)|(1&0))   //先计算最左侧的 &，是一次形如 a&b 的“短路”
=0|(1|(1&0))       //再计算中间的 |，是一次形如 a|b 的“短路”
=0|1               //再计算中间的 |，是一次形如 a|b 的“短路”
=1

【样例 #3】

见附件中的 expr/expr3.in 与 expr/expr3.ans。

【样例 #4】

见附件中的 expr/expr4.in 与 expr/expr4.ans。

【数据范围】

设 $∣s∣\lvert s \rvert$ 为字符串 $s$ 的长度。

对于所有数据， $\le \lvert s \rvert \le {10}^6$ 。保证 $s$ 中仅含有字符 0、1、&、|、(、) 且是一个符合规范的逻辑表达式。保证输入字符串的开头、中间和结尾均无额外的空格。保证 $s$ 中没有重复的括号嵌套（即没有形如 ((a)) 形式的子串，其中 a 是符合规范的逻辑表达式）。

测试点编号	$∣s∣≤\lvert s \rvert \le$	特殊条件
$\sim 2$	$3$	无
$\sim 4$	$5$	无
$5$	$2000$	1
$6$	$2000$	2
$7$	$2000$	3
$\sim 10$	$2000$	无
$\sim 12$	${10}^6$	1
$\sim 14$	${10}^6$	2
$\sim 17$	${10}^6$	3
$\sim 20$	${10}^6$	无

其中：
特殊性质 1 为：保证 $s$ 中没有字符 &。
特殊性质 2 为：保证 $s$ 中没有字符 |。
特殊性质 3 为：保证 $s$ 中没有字符 ( 和 )。

【提示】

以下给出一个“符合规范的逻辑表达式”的形式化定义：

字符串 0 和 1 是符合规范的；
如果字符串 s 是符合规范的，且 s 不是形如 (t) 的字符串（其中 t 是符合规范的），那么字符串 (s) 也是符合规范的；
如果字符串 a 和 b 均是符合规范的，那么字符串 a&b、a|b 均是符合规范的；
所有符合规范的逻辑表达式均可由以上方法生成。

理解

经过对数据的推演，大量反思总结出生成二叉树的规则
在这里插入图片描述
1.建立二叉树
2.每个节点都有父和左右子节点
3.从根root开始，需要当前位置cur
4.(0|1&0|1|1|(1|1))&(0&1&(1|0)|0|1|0)&0
都先建立节点now
5.0、1
成为当前节点cur的左，有左就右
6.(
成为cur的左，有左就右
自己成为cur
7.)
一直上溯到(，并成为其右树，
(父变成cur
8.&
一直上溯到非&，并记住where从哪里上溯
where是左自己就是左，否则右
where变成自己左
9.|
一直上溯到非&、非|，同样记住where
where是左就是左，否则右
远where变成左

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{//二叉树节点 char c;//运算符bool k;//布尔值node *f,*l,*r;//父节点，左右子节点node(){c='*',f=l=r=NULL;} //无参构造 node(char x){c=x,f=l=r=NULL,k=(c=='1');}//有参构造 
}root;//二叉树根
void add(node *f,node *c){//子节点c挂到f的左，有左就右 c->f=f;if(!f->l)f->l=c;else f->r=c;
} 
void view(node *x){//后序遍历，逆波兰表达式，天然有序，无需考虑优先级 if(x->l)view(x->l);if(x->r)view(x->r);if(x->c!='('||x->c!=')')cout<<x->c;
}
string s;//输入的运算符 
bool ans;//逻辑运算结果 
int he_and=0,he_or=0;//从左运算，“短路”的数量 
bool go(node *x){//从根开始运算 if(x->c=='0'||x->c=='1')return x->c=='1';//直接返回0、1 bool k1,k2;//左右分支的运算结果 if(x->l)k1=go(x->l);//有左就算左 if(x->c=='|'&&k1==1){he_or++;return 1;}//或短路 if(x->c=='&'&&k1==0){he_and++;return 0;}//与短路 if(x->c!='('&&x->r)k2=go(x->r);//无短路就算右分支 if(x->c=='|')return k1||k2;//或运算 else if(x->c=='&')return k1&&k2;//与运算 else if(x->c=='('||x->c=='*')return k1;//单分支 
}
int main(){//freopen("data.cpp","r",stdin);node *cur=&root;//开始时根就是当前节点，一直记住当前节点 cin>>s;//优先级高潜里，否则浮上(0|1&0|1|1|(1|1))&(0&1&(1|0)|0|1|0)&0 for(int i=0;i<s.length();i++){//遍历每个字符 node *now=new node(s[i]);//每个字符都建立节点，对应现在指针 if(s[i]=='('){add(cur,now);cur=now;}//挂到当前节点，后自己时当前节点 else if(s[i]==')'){while(cur->c!='(')cur=cur->f;//上浮，一直找到(父 add(cur,now);cur=cur->f;//挂到当前节点，收括号后上浮一层 }else if(s[i]=='&'){node *child;//确定上浮自左右哪个分支 if(cur->r)child=cur->r;//有有节点就是右 else child=cur->l;//否则就是左 while(cur->c=='&')child=cur,cur=cur->f;//只比&优先级低,唯遇到&上浮 now->f=cur;//挂当前节点 if(cur->l==child)cur->l=now;//替代child的分支，就是挂当前节点的左右哪个 else cur->r=now;add(now,child);cur=now;//把原先的child挂到自己左节点 }else if(s[i]=='|'){node *child;if(cur->r)child=cur->r;else child=cur->l;while(cur->c=='&'||cur->c=='|')child=cur,cur=cur->f;//只比|和&优先级低 now->f=cur;if(cur->l==child)cur->l=now;else cur->r=now;add(now,child);cur=now;}else add(cur,now);//加0、1数值 }//view(&root); cout<<endl;ans=go(&root);//运算，并统计“短路”数 cout<<ans<<"\n"<<he_and<<" "<<he_or; return 0;
}