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运动控制教学——5分钟学会PRM算法！

news 2025/10/12 6:29:15

PRM算法完全解析：从原理到实践的机器人路径规划神器

认真读完，相信我，你会收获无穷！

一、什么是PRM算法？

PRM（Probabilistic Roadmap，概率路径图） 是一种基于采样的路径规划算法，专门用于解决高维空间中的运动规划问题。

1.1 为什么需要PRM？

想象一下：

机械臂要在布满障碍物的工厂车间抓取零件
无人机需要在建筑群中穿梭飞行
移动机器人要在仓库货架间导航

传统的网格法会遇到什么问题？维度灾难！一个6自由度机械臂，如果每个关节划分10个格子，就需要10^6=100万个网格点。而PRM只需要随机采样几百个点就能搞定。

1.2 核心思想

PRM的工作分为两个阶段：

阶段	名称	主要任务	执行频率
学习阶段	Learning Phase	在空闲空间随机采样构建路径图	一次性（离线）
查询阶段	Query Phase	在已有路径图上搜索具体路径	每次任务（在线）

这就像先画好一张地铁线路图（学习阶段），之后每次出行只需查询怎么换乘（查询阶段）。

二、PRM算法的数学原理

2.1 配置空间（C-space）

配置空间是描述机器人所有可能状态的数学空间。

自由空间 $C_{free}$ ：机器人不与障碍物碰撞的配置集合
障碍空间 $C_{obs}$ ：机器人与障碍物碰撞的配置集合

关系： $C_{free} \cup C_{obs}$ ，且 $Cfree∩Cobs=∅C_{free} \cap C_{obs} = \emptyset$

举例：二维平面上的点机器人，配置空间就是 $(x, y)$ ；6自由度机械臂的配置空间是 $(θ1,θ2,...,θ6)(\theta_1, \theta_2, ..., \theta_6)$ 。

2.2 学习阶段的数学建模

步骤1：随机采样

从配置空间中均匀采样n个点：
$qi∼Uniform(Cfree),i=1,2,...,nq_i \sim \text{Uniform}(C_{free}), \quad i=1,2,...,n$

步骤2：碰撞检测

定义碰撞检测函数：
$CollisionFree(q)={True,q∈CfreeFalse,q∈Cobs\text{CollisionFree}(q) = \begin{cases} \text{True}, & q \in C_{free} \\ \text{False}, & q \in C_{obs} \end{cases}$

步骤3：邻域连接

对每个有效节点 $q_i$ ，找到其k近邻或r半径内的邻居，使用距离度量：
$d(q_i, q_j) = \|q_i - q_j\|$

常用的连接策略：

k-nearest: 连接距离最近的k个节点
r-radius: 连接半径r内的所有节点

步骤4：局部路径验证

对于每条候选边 $q_i, q_j)$ ，需验证连接路径是否无碰撞：
$Path(qi,qj)={qi+t(qj−qi)∣t∈[0,1]}\text{Path}(q_i, q_j) = \{q_i + t(q_j - q_i) | t \in [0,1]\}$

采用密集采样验证：
$∀t∈{0,Δt,2Δt,...,1}:CollisionFree(qi+t(qj−qi))\forall t \in \{0, \Delta t, 2\Delta t, ..., 1\}: \text{CollisionFree}(q_i + t(q_j - q_i))$

最终构建的路径图为： $G = (V, E)$ ，其中 $V$ 是节点集， $E$ 是边集。

2.3 查询阶段的数学建模

给定起点 $q_{start}$ 和终点 $q_{goal}$ ：

连接起止点：将 $q_{start}$ 和 $q_{goal}$ 连接到路径图 $G$
图搜索：使用Dijkstra或A*算法找到最短路径

A*算法的评估函数：
$f (n) = g (n) + h (n)$

其中：

$g (n)$ ：从起点到节点n的实际代价
$h (n)$ ：从节点n到终点的启发式估计（通常用欧氏距离）

三、PRM算法实现步骤

3.1 算法流程图

学习阶段：
1. 初始化空路径图 G=(V,E)
2. REPEAT n次:- 随机生成配置 q- IF 碰撞检测(q) == 无碰撞:- 将q加入节点集V- 找到q的k近邻- FOR 每个邻居节点:- IF 局部路径无碰撞:- 添加边到E查询阶段：
1. 连接 q_start 到图G
2. 连接 q_goal 到图G
3. 在G上执行A*搜索
4. 返回路径或失败

3.2 关键参数说明

参数	含义	典型取值	影响
n	采样点数量	500-2000	越大覆盖越好，计算越慢
k	近邻数量	10-15	影响图的连通性
r	连接半径	自适应	过大导致冗余边
Δt	路径检测步长	0.01-0.05	越小越精确，越慢

四、可视化理解PRM

初始状态

随机取样

创建地图

路径查询

五、PRM算法的应用领域

5.1 工业机械臂路径规划

应用场景：

汽车装配线上的焊接机器人
电子制造中的精密装配臂
物流仓储的分拣机械臂

为什么选PRM：机械臂通常是6-7自由度，配置空间维度高。PRM的采样策略能有效避免维度灾难，离线构建的路径图可反复使用，查询速度快（毫秒级）。

5.2 无人机集群协同

应用场景：

城市环境下的快递配送
电力巡检中的多机协同
灾害救援的区域搜索

为什么选PRM：无人机在三维空间运动，需考虑动态避障和多机协调。PRM可为每架无人机快速生成候选路径，结合时间维度扩展为时空路径图，实现去冲突规划。

关键参数设置：

采样密度：城市环境建议2000点/km³
连接半径：根据无人机机动性，通常设为50-100米
安全距离：机间保持≥3米，障碍物≥2米

5.3 移动机器人导航

应用场景：

智能仓储AGV调度
医院配送机器人
商场服务机器人

为什么选PRM：相比实时算法（如DWA），PRM在静态环境中效率更高。对于大型仓库，可离线构建全局路径图，实时查询时结合局部避障算法处理动态障碍。

混合策略：全局PRM + 局部DWA

PRM负责生成粗略路径（1秒内完成）
DWA在局部窗口内精细避障（50Hz更新）

六、实践踩坑经验

6.1 采样策略的深坑

❌ 常见错误：均匀随机采样在狭窄通道处失效

✅ 正确做法：采用高斯桥采样（Gaussian Bridge Sampling）

% 高斯桥采样伪代码
for i = 1:n_samplesq1 = randomSample();  % 第一个随机点q2 = randomSample();  % 第二个随机点q_mid = (q1 + q2) / 2 + gaussianNoise();  % 桥接点加噪声if checkCollision(q1) && checkCollision(q2) && ~checkCollision(q_mid)addNode(q_mid);  % 这个点很可能在狭窄通道中！end
end

效果对比：

均匀采样：5000点，通道覆盖率12%，成功率18%
高斯桥采样：3000点，通道覆盖率67%，成功率95%

6.2 碰撞检测的性能瓶颈

❌ 致命错误：在高维空间暴力检测每个关节

✅ 三层优化方案：

第一层：包络盒预筛选

% 使用AABB（轴对齐包围盒）快速剔除
function collision = fastCheck(robot_pose, obstacles)robot_bbox = computeBoundingBox(robot_pose);  % 10微秒for obs in obstaclesif ~bboxOverlap(robot_bbox, obs.bbox)continue;  % 快速跳过，无需精确检测end% 只对可能碰撞的障碍物做精确检测if preciseCheck(robot_pose, obs)collision = true;return;endendcollision = false;
end

第二层：分层碰撞模型

粗糙层：圆柱/球体近似（1ms）
精细层：凸包模型（5ms）
超精细：网格模型（仅最终验证，20ms）

第三层：空间索引

% 使用八叉树或KD树索引障碍物
octree = buildOctree(obstacles);  % 预处理一次
% 查询时只检测机器人附近的障碍物
nearby_obs = octree.query(robot_position, search_radius);

优化结果：

优化前：单次检测120ms → 采样1000点需120秒
优化后：单次检测0.8ms → 采样1000点需0.8秒（150倍提升）

6.3 路径图连通性问题

❌ 新手盲区：k值设置过小导致图不连通

✅ 自适应k值策略：

% 根据局部密度动态调整k
function k = adaptiveK(node, all_nodes)local_density = countNodesInRadius(node, all_nodes, r=2.0);if local_density < 5k = 15;  % 稀疏区域多连接elseif local_density < 20k = 10;  % 中等密度elsek = 6;   % 密集区域少连接end
end

连通性验证：

% 学习阶段结束后必须做的检查！
function ensureConnectivity(graph)components = findConnectedComponents(graph);if length(components) > 1% 在孤立子图间强制添加桥接边for i = 1:length(components)-1bridge = findShortestBridge(components{i}, components{i+1});if ~checkPathCollision(bridge)addEdge(graph, bridge);endendend
end

6.4 高维空间的距离度量陷阱

❌ 低级失误：不同量纲的关节直接用欧氏距离

✅ 加权距离度量：

% 不同关节的权重应反映其重要性
function dist = weightedDistance(q1, q2, weights)% weights = [w1, w2, ..., wn] 根据关节影响力设置% 大关节（基座）权重小，末端关节权重大diff = q1 - q2;dist = sqrt(sum((weights .* diff).^2));
end% 实际项目中的权重配置（6自由度臂）
weights = [0.5, 0.7, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0];  
% 末端关节权重是基座的6倍

更高级：流形距离

% 考虑关节限制的测地距离
function dist = manifoldDistance(q1, q2, joint_limits)dist = 0;for i = 1:length(q1)% 角度关节用最短角度差if joint_type(i) == 'revolute'diff = angularDifference(q1(i), q2(i));elsediff = abs(q1(i) - q2(i));enddist = dist + weights(i) * diff^2;enddist = sqrt(dist);
end

6.5 动态环境的致命缺陷

❌ PRM最大短板：离线构建的图无法应对动态障碍

✅ 混合解决方案：

方案1：动态路径图更新（适合慢速变化）

% 检测到障碍物变化时
function updateRoadmap(graph, new_obstacles)% 只重新验证受影响区域的边affected_edges = findEdgesInRegion(graph, new_obstacles);for edge in affected_edgesif checkPathCollision(edge, new_obstacles)removeEdge(graph, edge);endend% 局部重采样修复连通性if ~isConnected(graph)localResample(graph, affected_region);end
end

方案2：PRM + 局部重规划（推荐）

% 主框架
function executePath(prm_path, robot)for waypoint in prm_path% 使用局部算法（如DWA）跟踪PRM路径local_path = DWA(robot.pose, waypoint, dynamic_obstacles);if local_path == NULL% 局部失败，触发PRM重规划new_prm_path = PRM_replan(robot.pose, goal, updated_graph);executePath(new_prm_path, robot);return;endrobot.follow(local_path);end
end

实测数据：

纯PRM：动态环境成功率58%
PRM+局部修正：成功率96%，平均延迟增加12%

七、PRM vs 其他算法对比

7.1 核心差异表

算法	采样方式	适用场景	计算复杂度	路径质量
PRM	随机离线采样	高维静态环境	O(n log n)	中等
RRT	随机在线扩展	单次查询	O(n)	较差
A*	网格搜索	低维环境	O(b^d)	最优
Dijkstra	全图搜索	小规模图	O(n²)	最优