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EOM公式推导

news 2025/10/11 15:06:22

在uplift建模中，除了AUUC、QINI指标，还有EOM。它是基于离线RCT模拟评估在线业务收益的指标，EOM越高，业务收益越高。

记录下EOM的公式推导 EOM 这个推导依赖于概率论中的两个核心概念：

全期望定律 (Law of Total Expectation)
随机实验中的独立性 (Independence in Randomized Experiments)

目标： 证明 $E[Z]=E[Y∣T=h(X)]\text{E}[Z] = \text{E}[Y | T = h(\mathbf{X})]$

其中，随机变量 $Z$ 的定义为：
$\sum_{t=0}^{K} \frac{1}{p_t} Y \mathbb{I}\{h(\mathbf{X}) = t\} \mathbb{I}\{T = t\}$
这里 $p_t = P(T=t)$ 是用户被分配到干预 $t$ 的概率。

第一步：代入 $Z$ 的定义并利用期望的线性性

期望 $E[⋅]\text{E}[\cdot]$ 具有线性性，因此我们可以将期望 $E[Z]\text{E}[Z]$ 拆分成和式的期望：
$E[Z]=E[∑t=0K1ptYI{h(X)=t}I{T=t}]\text{E}[Z] = \text{E}\left[\sum_{t=0}^{K} \frac{1}{p_t} Y \mathbb{I}\{h(\mathbf{X}) = t\} \mathbb{I}\{T = t\}\right]$

将求和 $∑\sum$ 和常量 $1pt\frac{1}{p_t}$ 移出期望：
$E[Z]=∑t=0K1ptE[YI{h(X)=t}I{T=t}](∗)\text{E}[Z] = \sum_{t=0}^{K} \frac{1}{p_t} \text{E}\left[Y \mathbb{I}\{h(\mathbf{X}) = t\} \mathbb{I}\{T = t\}\right] \quad (*)$

第二步：利用全期望定律和指示函数

根据概率论中对随机变量乘积期望的定义，两个指示函数 $I{A}\mathbb{I}\{A\}$ 和 $I{B}\mathbb{I}\{B\}$ 相乘，等价于条件 $A$ 和 $B$ 同时成立。

$E[YI{h(X)=t}I{T=t}]=E[Y⋅I{h(X)=t,T=t}]\text{E}[Y \mathbb{I}\{h(\mathbf{X}) = t\} \mathbb{I}\{T = t\}] = \text{E}\left[Y \cdot \mathbb{I}\left\{h(\mathbf{X}) = t, T = t\right\}\right]$

利用全期望定律，将期望写成 联合概率的积分 形式：
$E[Y⋅I{h(X)=t,T=t}]=E[Y∣h(X)=t,T=t]⋅P(h(X)=t,T=t)\text{E}\left[Y \cdot \mathbb{I}\left\{h(\mathbf{X}) = t, T = t\right\}\right] = \text{E}\left[Y \mid h(\mathbf{X}) = t, T = t\right] \cdot P\left(h(\mathbf{X}) = t, T = t\right)$

将这个结果代回 $(*)$ ：
$E[Z]=∑t=0K1pt⋅E[Y∣h(X)=t,T=t]⋅P(h(X)=t,T=t)\text{E}[Z] = \sum_{t=0}^{K} \frac{1}{p_t} \cdot \text{E}\left[Y \mid h(\mathbf{X}) = t, T = t\right] \cdot P\left(h(\mathbf{X}) = t, T = t\right)$

第三步：利用随机实验的独立性

在RCT样本中，用户被分配到干预组 $T$ 的过程是独立于用户的特征 $X\mathbf{X}$ （以及模型基于 $X\mathbf{X}$ 的预测 $h(X)h(\mathbf{X})$ ）的。

因此，事件 ${h(X)=t}\{h(\mathbf{X})=t\}$ 和 ${T=t\}$ 是相互独立的。

根据独立性，联合概率可以分解：
$P(h(X)=t,T=t)=P(h(X)=t)⋅P(T=t)=P(h(X)=t)⋅pt\begin{aligned} P\left(h(\mathbf{X}) = t, T = t\right) &= P\left(h(\mathbf{X}) = t\right) \cdot P\left(T = t\right) \\ &= P\left(h(\mathbf{X}) = t\right) \cdot p_t \end{aligned}$

$E[Z]=∑t=0K1pt⋅E[Y∣h(X)=t,T=t]⋅(P(h(X)=t)⋅pt)=∑t=0KE[Y∣h(X)=t,T=t]⋅P(h(X)=t)\begin{aligned} \text{E}[Z] &= \sum_{t=0}^{K} \frac{1}{p_t} \cdot \text{E}\left[Y \mid h(\mathbf{X}) = t, T = t\right] \cdot \left(P\left(h(\mathbf{X}) = t\right) \cdot p_t\right) \\ &= \sum_{t=0}^{K} \text{E}\left[Y \mid h(\mathbf{X}) = t, T = t\right] \cdot P\left(h(\mathbf{X}) = t\right) \end{aligned}$

回顾全期望定律： $E[A]=∑iE[A∣B=bi]P(B=bi)\text{E}[A] = \sum_{i} \text{E}[A | B=b_i] P(B=b_i)$ 。

$E[Z]=∑t=0KE[Y∣h(X)=t,T=t]⋅P(h(X)=t)=∑t=0KE[Y∣T=t,h(X)=t]⋅P(h(X)=t)=E[Y∣T=h(X)]\begin{aligned} \text{E}[Z] &=\sum_{t=0}^{K} \text{E}\left[Y \mid h(\mathbf{X}) = t, T = t\right] \cdot P\left(h(\mathbf{X}) = t\right) \\ &=\sum_{t=0}^{K} \text{E}\left[Y \mid T = t, h(\mathbf{X}) = t\right] \cdot P\left(h(\mathbf{X}) = t\right) \\ &= \text{E}[Y | T = h(\mathbf{X})] \end{aligned}$

在营销场景的在线运筹中， $h (X) = t$ 表示运筹出一张券面额，如果实发面额 $T$ 也等于 $t$ ，那么 $z=Yptz=\frac{Y}{p_t}$ ，这样即可模拟出在线业务收益。 $p_t$ 是该treatment的样本分布占比， $1pt\frac{1}{p_t}$ 表示IPW，从而避免样本不均的影响。