蓝桥杯备考：动态规划入门题目之下楼梯问题

按照动态规划解题顺序，首先，我们要定义状态表示，这里根据题意f[i]就应该表示有i个台阶方案总数

第二步就是 确认状态转移方程，画图分析

所以实际上f[i] 也就是说i个台阶的方案数实际上就是第i-1个格子的方案数+第i-2个格子的方案数+第i-3个格子的方案数，所以状态转移方程就是f[i]=f[i-1]+f[i-2]+f[i-3]

下一步就是我们的初始化，我们的初始化要遵循两个要求，1是保证填表正确，2是不越界

如果我们从0，1，2开始填的话下标会越界 所以我们就把0，1，2三个格子初始化，f[0]是1还是0呢？f[0]就是没有台阶，我们是算一种方案还是算0种方案呢，我们先不管他，我们先看1 一个台阶上的方案只有一个，f[1]  = 1   再看2  2个台阶上的方案无非就是一个格子一个格子上 和两个格子一起上，方案是2 个 f[2] = 2  我们再看一下3，3的台阶上的方案如图，很明显是四个，所以我们f[0]应该填1

下一步就是确认填表顺序了，我们应该从第三个开始填，从左到右

废话不说我们来实现一下我们的代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 600;
LL f[N];
int main()
{
	f[0] = 1;f[1] = 1;f[2] = 2;
	LL n; cin >> n;
	for(LL i = 3;i<=n;i++)
	{
		f[i] = f[i-1]+f[i-2]+f[i-3];
	}
	cout << f[n] << endl;

}

代码很简单，和斐波那契数列特别像，也可以说它是一个斐波那契模型

但是！我们可以对空间进行一些优化，虽然我们比赛里空间不是大事儿，但是！后面在学背包的时候，我们的空间的优化对时间也能优化

与其用数组，其实我们可以用若干变量来完成我们的代码，就不用再开数组了

如图，我们令t=a+b+c 然后让c变成t，但是又不能直接把c赋给t，我们要把abc整体向右边挪动一位，我们应该先把b=c ，然后a=b，最后再把c=t  然后我们再进入下一个循环算4，如果我们求3这个格子的话，我们循环一次就达到了，我们求4这个格子，循环两次，求n这个格子，循环n-3+1次也就是两闭区间

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main()
{
	LL a,b,c;
	a = 1;b = 1;c = 2;
	LL n; cin >> n;
	for(LL i = 3;i<=n;i++)
	{
		LL t = a+b+c;
		a = b;
		b = c;
		c = t;
	}
	if(n==1) cout << 1 << endl;
	else
	cout << c << endl;


}

这是我们的代码