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【算法-图论】图的存储

在图论中，我们应该如何存储一个图？每种存图的方法有什么优点，有什么缺点？这篇文章将会让你找到答案

1. 邻接表

邻接表是由一个静态的数组套动态的数组构成的。我们都知道动态数组的空间会随着数组的大小进行改变，可长可短，还可以自动释放一些无需的闲置空间，而外面的静态数组也可能对于一些节点空间小，一些节点空间大

当我们定义了一个邻接矩阵 $G$ 时，$G_i$ 则表示从 $i$ 号节点经过一条边到达的节点所构成的集合，我们只要遍历集合，就相当于遍历了以 $i$ 号为起点的边

例如上面的这个有向图可以写成这样的邻接表
G0={2,4,5}G1={4,5}G2={3,4}G3=∅G4={5}G5=∅ G_0 = \{2, 4, 5\} \\ G_1 = \{4, 5\} \\ G_2 = \{3, 4\} \\ G_3 = \emptyset \\ G_4 = \{5\} \\ G_5 = \emptyset G0​={2,4,5}G1​={4,5}G2​={3,4}G3​=∅G4​={5}G5​=∅
此外，如果这个图是无向图，可以看成两个相连的节点互相连接

如果还想保存权值的话，就在里面的动态数组中套一个结构体，一个是要到的点，另一个是到那个点的边的权值

以下是对于有权值有向图的邻接表的代码

const int V = 1005; // 点的数量struct EdgeNode {int v, w; // 到的地方和权值
};vector<EdgeNode> G[V];void AddEdge (int u, int v, int w) {G[u].push_back({v, w});
}

2. 邻接矩阵

它使用的是要一个二维静态数组，$G_{u,v}$ 表示从 $u$ 到 $v$ 是否有边链接，如果有边为 $1$，否则没边为 $0$。对于有权值的边而言，$G_{u,v}$表示为从 $u$ 到 $v$ 连接的边权，如果没边则 $G_{u,v}=\infty$，另外，$G_{i,i}=0$

对于这个图，那么它的邻接矩阵就是：
$$\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0\end{array}\right]$$

其中，我们不难发现：矩阵始终是个方阵，且大小为 $|V{|}^2$

这是有权值无向图的邻接矩阵的写法：

const int V = 1005; // 点的个数int G[V][V]; // 邻接矩阵void AddEdge (int u, int v, int w) {G[u][v] = G[v][u] = w; 
}int main () {memset(G, 0x3f, sizeof(G));
}

3. 边表

边表，也叫做链式前向星，它使用一个大小 $2|E|$ 的一维数组 $Edge$ 存储边，还有一个大小为 $|V|$ 的数组 $Head$ 表示头指针。其中，$Edge$ 的每一个元素实际上存储了三个属性：边连接哪个点、边的权值和同样以这个边的起点作为起点的其他的边，用于遍历所有的边。$Head$ 存储着应该从哪里开始遍历以某个点作为起点的所有点，作为遍历的开端。实际编程时，我们可以倒着连接

这是加边用的函数

const int ARRMAX = 100005;struct GrephEdge {int v; // 去哪个点int w; // 权值int nxt; // 下一个边
} Edge[ARRMAX << 1];
int cnt; 
int Head[ARRMAX];void AddEdge (int u, int v, int w) { // 插入以 u 为起点，v 为终点，权值为 w 的边Edge[cnt] = {v, w, Head[u]}; // 边的增加Head[u] = cnt++; // 改变头指针
}