从原图到线图再到反推：网络图几何与拓扑的结合分析

从原图到线图再到反推：网络图几何与拓扑的结合分析

在网络科学与图论应用中，原始图 $G$ 与其 线图 $L(G)$ 的关系是一个非常经典的课题。通过线图，我们能够将“边”提升为“节点”，进而从另一种视角来观察图的结构与性质。在本文中，我们不仅展示如何从原图构造线图，还会结合几何计算与优化方法，探讨如何利用线图和几何约束反推出原图的空间嵌入。

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1. 原图 G 的构建与边长计算

首先，我们创建一个带有坐标的无向图 $G=(V,E)$。节点 $V$ 的位置以字典 pos 给定，边 $E$ 则通过 edges 列表指定。

对于任意一条边 $(u,v)$，其长度由欧氏距离给出：
$$\ell (u,v)=\sqrt{(x_u-x_v{)}^2+(y_u-y_v{)}^2}$$
其中 $(x_u,y_u)$、$(x_v,y_v)$ 分别为节点 (u,v) 的坐标。

import networkx as nx
import numpy as np
from scipy.spatial import distance
from scipy.optimize import least_squares
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as snssns.set_theme(style="whitegrid", font="SimHei", rc={"axes.unicode_minus": False})# 创建图
G = nx.Graph()
pos = {0: (0, 0), 1: (4, 0), 2: (6, 0), 3: (0, 2), 4: (0, 3),5: (-4, 0), 6: (0, -1), 7: (0, -2), 8: (0, -4), 9: (0, -6),10: (4, 2), 11: (4, 4), 12: (5, 2), 13: (5, 3), 14: (2, 4),15: (6, 4), 16: (-2, 2), 17: (-2, 5), 18: (-2, 6), 19: (2, 6),20: (-3, 5), 21: (2, -2), 22: (4, -2), 23: (6, -2), 24: (4, -4),25: (4, -5), 26: (2, -4), 27: (5, -4), 28: (-1, -1), 29: (-1, -2),30: (-2, -2), 31: (-2, -4), 32: (-3, -4),
}
edges = [(0, 1), (1, 2), (0, 3), (3, 4), (0, 5), (0, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (1, 10), (10, 11), (10, 12), (12, 13),(11, 14), (11, 15), (4, 14), (14, 19), (3, 16), (16, 17), (17, 18), (18, 19), (17, 20), (7, 21), (21, 22), (22, 23),(1, 22), (22, 24), (24, 25), (8, 26), (24, 26), (24, 27),(21, 26), (6, 28), (28, 29), (7, 29), (29, 30), (30, 31),(8, 31), (31, 32),
]
G.add_edges_from(edges)# 将节点坐标转换为 NumPy 数组
node_index = {n: i for i, n in enumerate(G.nodes())}
pos_array = np.array([pos[n] for n in G.nodes()])# 获取所有边的起点和终点索引
edges_array = np.array([[node_index[u], node_index[v]] for u, v in G.edges()])
# 取出对应坐标
coords_u = pos_array[edges_array[:, 0]]
coords_v = pos_array[edges_array[:, 1]]
lengths = np.linalg.norm(coords_u - coords_v, axis=1)for (u, v), l in zip(G.edges(), lengths):G.edges[u, v]['length'] = l# 创建图形和坐标轴
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
# 绘制边
nx.draw_networkx_edges(G, pos, ax=ax)
# 绘制节点
nx.draw_networkx_nodes(G, pos, node_size=150, node_color='skyblue', ax=ax)
# 绘制标签
nx.draw_networkx_labels(G, pos, font_size=10, font_color='black', ax=ax)# 在边上显示边长
edge_labels = {}
for u, v, d in G.edges(data=True):val = d['length']if val == int(val):  # 如果是整数edge_labels[(u, v)] = f"{int(val)}"else:# 保留两位小数edge_labels[(u, v)] = f"{val:.2f}"nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos,edge_labels=edge_labels,font_size=10,font_color='red'
)# 设置坐标轴范围
x_vals, y_vals = zip(*pos.values())
ax.set_xlim(min(x_vals)-1, max(x_vals)+1)
ax.set_ylim(min(y_vals)-1, max(y_vals)+1)# 设置刻度与网格
ax.set_xticks(range(int(min(x_vals))-1, int(max(x_vals))+2))
ax.set_yticks(range(int(min(y_vals))-1, int(max(y_vals))+2))
ax.grid(True, linestyle='--', color='gray', alpha=0.5)ax.set_aspect('equal')  # 坐标轴长度相等
plt.title('原图 G')
plt.show()

代码中通过 np.linalg.norm(coords_u - coords_v, axis=1) 批量计算所有边的长度，并存入边属性。最后在可视化时，将边长以标签标注在图上。

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2. 线图 L 的构建与几何表示

给定原图 $G=(V,E)$，线图定义如下：

节点集：
$$V(L)=E(G)$$
即原图的每一条边都成为线图中的一个节点。

边集：
$$E(L)=((u,v),(v,w))\mid (u,v),(v,w)\in E(G)$$
即若原图两条边共享一个端点，它们对应的线图节点相连。

在可视化中，我们将线图的节点坐标定义为原图边的中点：
$$m_{uv}=\left(\frac{x_u+x_v}{2},\frac{y_u+y_v}{2}\right)$$
同时，将原图的边长作为线图节点的属性，并用它来设置节点大小。这样，线图 (L) 不仅保留了原图的拓扑关系，还反映了几何信息。

# 创建线图
L = nx.line_graph(G)# 给线图节点定义位置：取边两端节点的中点
line_pos = {}
for edge in L.nodes():u, v = edgex = (pos[u][0] + pos[v][0]) / 2y = (pos[u][1] + pos[v][1]) / 2line_pos[edge] = (x, y)# 将原图边的长度存入线图节点属性，并用来设置节点大小
node_sizes = []
for edge in L.nodes():length = G.edges[edge]['length']  # 获取原图边长度L.nodes[edge]['length'] = length  # 存入节点属性node_sizes.append(length * 300)   # 放大倍数可调，便于可视化# 绘制线图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 10))# 绘制边
nx.draw_networkx_edges(L, pos=line_pos, ax=ax)
# 绘制节点，大小根据原图边长
nx.draw_networkx_nodes(L, pos=line_pos, node_size=node_sizes, node_color="lightgreen", ax=ax)
# 绘制标签
nx.draw_networkx_labels(L, pos=line_pos, font_size=8, ax=ax)# 设置坐标轴范围和刻度，让网格对齐
x_vals, y_vals = zip(*line_pos.values())
ax.set_xlim(min(x_vals)-1, max(x_vals)+1)
ax.set_ylim(min(y_vals)-1, max(y_vals)+1)
ax.set_xticks([round(v) for v in range(int(min(x_vals))-1, int(max(x_vals))+2)])
ax.set_yticks([round(v) for v in range(int(min(y_vals))-1, int(max(y_vals))+2)])# 添加网格
ax.grid(True, linestyle='--', color='gray', alpha=0.5)
ax.set_aspect('equal')
ax.set_title("线图 L - 节点大小表示原图边长度")
plt.show()

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3. 原图 G 与线图 L 的叠加

为了直观对比，我们将原图 $G$ 与线图 $L$ 绘制在同一张图上：

• 蓝色节点与灰色边表示原图 $G$；
• 绿色节点与粉色边表示线图 $L$。

叠加图能够清晰展示：原图的边是如何“转化”为线图的节点，而两条共享端点的边又如何在 $L$ 中相连。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 12))# 绘制原图
nx.draw_networkx_edges(G, pos, ax=ax, edge_color='gray', alpha=1, width=2, label='G边')
nx.draw_networkx_nodes(G, pos, ax=ax, node_size=300, node_color='skyblue', label='G点')
nx.draw_networkx_labels(G, pos, ax=ax, font_size=10, font_color='black')# 绘制线图
nx.draw_networkx_edges(L, line_pos, ax=ax, edge_color='salmon', alpha=0.5, width=2, label='L边')
nx.draw_networkx_nodes(L, line_pos, ax=ax, node_size=200, node_color='lightgreen', label='L点')
nx.draw_networkx_labels(L, line_pos, ax=ax, font_size=8, font_color='darkgreen')# 设置坐标轴和网格
x_vals, y_vals = zip(*list(pos.values()) + list(line_pos.values()))
ax.set_xlim(min(x_vals)-0.5, max(x_vals)+0.5)
ax.set_ylim(min(y_vals)-0.5, max(y_vals)+0.5)# 设置刻度与网格
ax.set_xticks(range(int(min(x_vals))-1, int(max(x_vals))+2))
ax.set_yticks(range(int(min(y_vals))-1, int(max(y_vals))+2))
ax.grid(True, linestyle='--', color='gray', alpha=0.5)ax.set_aspect('equal')
ax.set_title("原始网络图G及其线图L叠加示意图", fontsize=16)# --- 添加图例
handles, labels = ax.get_legend_handles_labels()
by_label = dict(zip(labels, handles))
ax.legend(by_label.values(), by_label.keys(), loc='upper right', fontsize=10)plt.show()

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4. 从 L 反推 G：几何约束与优化

接下来，我们尝试从线图的几何信息反推出原图节点的位置。

4.1 约束条件

假设原图中有一条边 $(u,v)$，其在线图中对应的节点为 $m_{uv}$，并具有以下约束：

中点约束：
$$\frac{x_u+x_v}{2}=m_x,\frac{y_u+y_v}{2}=m_y$$
其中 $(m_x,m_y)$ 是线图节点的坐标。

边长约束：
$$\sqrt{(x_u-x_v{)}^2+(y_u-y_v{)}^2}=\ell (u,v)$$
这两个约束条件共同确保了恢复的坐标既符合几何关系，也符合边长。

4.2 最小二乘优化

我们将所有约束写成残差函数，通过 最小二乘法进行求解：

$$\underset{x}{\min }\sum _{(u,v)\in E(G)}\left[\right(\frac{x_u+x_v}{2}-m_x{)}^2-(\frac{y_u+y_v}{2}-m_y{)}^2-(|(x_u,y_u)-(x_v,y_v)|-\ell (u,v){)}^2]$$

使用 scipy.optimize.least_squares，我们可以数值化地恢复出原图节点的近似坐标。

# 反推原图 G 节点坐标
nodes = list({n for e in line_pos.keys() for n in e})
node_idx = {n:i for i,n in enumerate(nodes)}# 初始值：使用原图 pos 并加少量扰动
x0 = np.zeros(len(nodes)*2)
for i, n in enumerate(nodes):x0[2*i] = pos[n][0]x0[2*i+1] = pos[n][1]def fun(x):res = []for u,v in line_pos.keys():xu, yu = x[2*node_idx[u]], x[2*node_idx[u]+1]xv, yv = x[2*node_idx[v]], x[2*node_idx[v]+1]mx, my = line_pos[(u,v)]# 中点约束res.append((xu+xv)/2 - mx)res.append((yu+yv)/2 - my)# 边长约束，使用已有边长度属性l = G.edges[u,v]['length']res.append(np.sqrt((xu-xv)**2 + (yu-yv)**2) - l)return res# 最小二乘求解
result = least_squares(fun, x0)
coords = result.x.reshape(-1,2)
restored_pos = {n:(coords[i,0], coords[i,1]) for i,n in enumerate(nodes)}# 构造恢复的 G 图
G_restored = nx.Graph()
G_restored.add_nodes_from(nodes)
G_restored.add_edges_from(line_pos.keys())# 可视化恢复图
plt.figure(figsize=(10, 10))nx.draw_networkx_nodes(G_restored, restored_pos, node_size=300, node_color='skyblue')
nx.draw_networkx_edges(G_restored, restored_pos, width=2, edge_color='gray')
nx.draw_networkx_labels(G_restored, restored_pos, font_size=10, font_color='black')# 设置坐标轴和网格
x_vals, y_vals = zip(*restored_pos.values())
plt.xlim(min(x_vals)-1, max(x_vals)+1)
plt.ylim(min(y_vals)-1, max(y_vals)+1)
plt.xticks(range(int(min(x_vals))-1, int(max(x_vals))+2))
plt.yticks(range(int(min(y_vals))-1, int(max(y_vals))+2))
plt.grid(True, linestyle='--', color='gray', alpha=0.5)
plt.gca().set_aspect('equal')
plt.title("使用L图恢复为G图")
plt.show()

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5. 关键前提与局限性

需要特别强调的是，几何信息本身不足以恢复原图。

• 如果线图仅仅保留了“中点坐标”和“边长”，而没有保留 拓扑对应关系（即线图的节点是 $(u,v)$，告诉我们它对应的是原图的哪条边），那么恢复问题会变得 不可解或多解。
• 因此，反推原图的前提是：线图 $L$ 必须反映原图 $G$ 的边的真实连接关系。也就是说，$L$ 中的节点必须明确指出它来源于哪条原图边。

只有在这个前提下，几何约束和拓扑约束结合，才能保证原图的恢复是合理的。

lt.show()

[外链图片转存中...(img-c9PmAeMW-1759760205842)]------## 关键前提与局限性需要特别强调的是，**几何信息本身不足以恢复原图**。- 如果线图仅仅保留了“中点坐标”和“边长”，而没有保留 **拓扑对应关系**（即线图的节点是 $(u,v)$，告诉我们它对应的是原图的哪条边），那么恢复问题会变得 **不可解或多解**。
- 因此，反推原图的前提是：**线图 $L$ 必须反映原图 $G$ 的边的真实连接关系**。也就是说，$L$ 中的节点必须明确指出它来源于哪条原图边。只有在这个前提下，几何约束和拓扑约束结合，才能保证原图的恢复是合理的。