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多元隐函数偏导的通用公式：

设一个隐函数由三元函数定义：

$$F(x,y,z)=0$$

且假设 $z=z(x,y)$，即 $z$ 是 $x,y$ 的函数，满足这个等式恒成立。则有以下公式：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

我们来详细推导一下这个通用结果。

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✅ 一、基本思路：全微分 + 链式法则

我们把 $z=z(x,y)$ 看成隐式给出的函数。由于

$$F(x,y,z(x,y))=0$$

恒成立，我们对这个方程两边对 $x$、$y$ 分别求偏导，使用链式法则。

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✅ 二、对 $x$ 求偏导

$$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))=0$$

用链式法则展开：

$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0$$

即：

$$F_x+F_z\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$$

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✅ 三、对 $y$ 求偏导

同理，

$$\frac{\partial }{\partial y}F(x,y,z(x,y))=0\Rightarrow F_y+F_z\cdot \frac{\partial z}{\partial y}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

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✅ 四、注意条件

• 要求 $F$ 在某点连续可微；
• 并且 $F_z\ne 0$，即对 $z$ 偏导不为零；
• 这确保了我们可以用隐函数定理，在局部可以将 $z$ 写成 $x,y$ 的函数。

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✅ 五、总结

多元隐函数的偏导公式：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

是由链式法则推导出来的，适用于 $F(x,y,z)=0$ 给出 $z=z(x,y)$ 的情形，本质是“复合函数求导 + 方程恒成立”。

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疑问

你的问题是：

已知 $F(x,y,z(x,y))=0$，为什么对 $x$ 求偏导时写成

$$F_x+F_z\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$$

而没有 $F_y\cdot \frac{\partial y}{\partial x}$ 那一项？

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✅ 回答：因为 $y$ 是自变量，不是 $x$ 的函数！

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🔍 详细解释：

在隐函数 $F(x,y,z(x,y))=0$ 中，$z$ 是 $x,y$ 的函数，但 $x$ 和 $y$ 是彼此独立的变量。我们将 $F$ 看成如下复合函数：

$$F(x,y,z(x,y))$$

在这个表达式中：

• $x$：自变量
• $y$：自变量
• $z$：由 $x,y$ 决定，即 $z=z(x,y)$

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🧮 对 $x$ 求偏导使用链式法则：

$$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}$$

因为：

• $\frac{\partial F}{\partial x}$：直接对 $x$ 求偏导；
• $\frac{\partial F}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}$：间接影响，因为 $z$ 是 $x$ 的函数；
• $y$ 是常量，对 $x$ 偏导时 $\frac{\partial y}{\partial x}=0$，不出现任何 $F_y$ 项。

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📌 结论：

当你写下：

$$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))=F_x+F_z\cdot \frac{\partial z}{\partial x}$$

这是正确的，因为 $F$ 是 $x$、$y$、$z$ 的函数，而 $z$ 又是 $x,y$ 的函数。但 偏导数只关心一个变量的变化，其他变量当常量看待，所以 $y$ 看作常量。

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🧠 小提示：

如果你写的是 全导数（不是偏导）：

$$\frac{d}{dx}F(x,y(x),z(x,y(x)))$$

那就需要加上：

$$F_x+F_y\cdot \frac{dy}{dx}+F_z\cdot \left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dx}\right)$$

但这属于更复杂的复合函数情况。

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