【数据结构】非线性数据结构——堆

1. 堆的介绍

堆（Heap） 是一种 完全二叉树，满足某种特定的顺序性质：

• 大根堆（Max Heap）：任意节点的值 ≥ 子节点。

• 小根堆（Min Heap）：任意节点的值 ≤ 子节点。

堆的根节点永远是堆中的最大值（大根堆）或最小值（小根堆），堆通常用 数组 来存储，本质是 “用数组存储的二叉树”，完全二叉树结构保证了堆可以用数组紧凑存储（无冗余空间），同时通过数组索引的数学关系可以模拟二叉树的父子节点关联，避免了链式存储的指针开销。

2. 堆的存储方式

假设数组下标从 0 开始（最常用），对于任意节点 i：

父节点索引：parent(i) = (i - 1) / 2（整数除法，向下取整）
左子节点索引：left(i) = 2 * i + 1
右子节点索引：right(i) = 2 * i + 2

3. 堆的基本操作

3.1 插入（Insert）

把新元素插到数组末尾（保持完全二叉树形态）。

执行 上浮（sift up / heapify-up）：不断和父节点比较，若不满足堆性质就交换。

时间复杂度：O(log n)。

3.2 删除堆顶（Extract）

取出根节点（最大或最小值）。

把最后一个元素移到根节点。

执行 下沉（sift down / heapify-down）：不断和子节点比较并交换，直到满足堆性质。

时间复杂度：O(log n)。

3.3 建堆（Heapify）

自底向上调整：从最后一个非叶子节点开始，逐步下沉。

时间复杂度：O(n)。

4、堆的应用场景

堆的核心优势是 “快速获取极值”，主要应用包括：

• 堆排序：利用堆的特性实现排序，时间复杂度 O (n log n)，空间复杂度 O (1)（原地排序）。

• 优先队列（Priority Queue）：堆是优先队列的标准实现方式。优先队列的核心需求是 “每次取出优先级最高的元素”，堆的 “堆顶是极值” 特性完美匹配这一需求。

• Top K 问题：从海量数据中快速找到前 K 个最大 / 最小元素（如 “前 10 名高分学生”）。

• 中位数查找：用两个堆维护数据（大顶堆存左半部分数据，小顶堆存右半部分数据），堆顶分别为左半最大值和右半最小值，可 O (1) 获取中位数。

5、堆排序

如果把一个无序数组通过桶排序算法变成有序数组？

堆排序分为 构建堆 和 排序（提取最大值并调整堆） 两大阶段，具体步骤如下：

1. 构建大顶堆

将无序数组转换为大顶堆，确保整个二叉树满足大顶堆的性质。

起点： 从最后一个非叶子节点开始（索引为 n/2 - 1，n 为数组长度），因为叶子节点本身就是合法的堆。

解释：最后一个节点的索引是 n-1 ，最后一个非叶子节点的索引是 (n-1-1)/2（n 是数组长度，即最后一个节点的父节点）。选择从这里开始，是因为叶子节点本身已满足 “大顶堆属性”，无需堆化；从后向前遍历非叶子节点，可确保每个节点的子树先满足堆属性，进而让整个数组成为大顶堆。

过程： 从后往前依次对每个非叶子节点执行 堆调整（heapify） 操作，确保以该节点为根的子树是大顶堆。

堆调整（heapify）：对每个非叶子节点，执行 “向下堆化”：

• 比较当前节点与其左、右子节点，找到三者中的最大值；
• 若最大值不是当前节点，则交换当前节点与最大值节点（确保父节点≥子节点）；
• 交换后，需递归（或迭代）检查被交换的子节点，直到该节点及其子树满足大顶堆属性。

2. 排序（提取最大值并调整堆）

1） 提取堆顶最大值，放到已排序部分

• 将 “堆顶（数组第一个元素，未排序部分的最大值）” 与 “当前堆的最后一个元素（未排序部分的最后一个元素）” 交换
• 此时最大值被“移动到数组的末尾”，成为 “已排序部分的第一个元素”（随着循环，已排序部分会从后向前逐步扩大）；
• 原堆的最后一个元素被移到堆顶，破坏了堆的属性（新堆顶可能小于子节点）。

2）缩小堆的范围，恢复堆结构

• 由于最大值已放入已排序部分，后续无需再处理它，因此 “堆的大小” 缩小 1（即忽略数组末尾的已排序元素）；
• 对新堆顶（原末尾元素）执行 堆调整（heapify），修复堆的属性，确保新堆的堆顶仍是 “当前未排序部分的最大值”。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 向下堆化（维护大顶堆）
// arr: 待堆化的数组
// n: 堆的大小
// i: 开始堆化的节点索引
void heapify(vector<int>& arr, int n, int i) {int largest = i;          // 初始化最大值为当前节点int left = 2 * i + 1;     // 左子节点索引int right = 2 * i + 2;    // 右子节点索引// 如果左子节点大于当前最大值，则更新最大值if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {largest = left;}// 如果右子节点大于当前最大值，则更新最大值if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {largest = right;}// 如果最大值不是当前节点，则交换并递归堆化if (largest != i) {swap(arr[i], arr[largest]);heapify(arr, n, largest);}
}// 堆排序函数
void heapSort(vector<int>& arr) {int n = arr.size();// 1. 构建大顶堆// 从最后一个非叶子节点开始向上堆化for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {heapify(arr, n, i);}// 2. 提取最大值并维护堆// 每次将堆顶（最大值）与当前堆的最后一个元素交换// 然后减小堆的大小并重新堆化for (int i = n - 1; i > 0; i--) {swap(arr[0], arr[i]);  // 交换堆顶和当前堆的最后一个元素heapify(arr, i, 0);    // 对剩余的元素重新堆化}
}// 打印数组
void printArray(const vector<int>& arr) {for (int num : arr) {cout << num << " ";}cout << endl;
}int main() {vector<int> arr = {12, 11, 13, 5, 6, 7};cout << "排序前的数组: ";printArray(arr);heapSort(arr);cout << "排序后的数组: ";printArray(arr);return 0;
}