第7章树和二叉树：树的基本概念

7.1 树的基本概念

1. 树的定义

树（Tree）是由 $n(n\ge 0)$ 个结点组成的有限集合，记作 T。

• 如果 $n=0$ ，它是一颗空树；
• 如果 $n>0$ ，则为非空树，可以有图 7.1.1 所示的树的示例。

图 7.1.1 树的示例

对于非空树 T：

• 有且只有一个称为根结点（Root）的结点，简称根。
• 除根结点以外的其余结点可分为 $m(m>0)$ 个互不相交的有限集 $T_1,T_2,\cdots ,T_m$ ，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（Subtree）。

从以上可以看出，树的定义是递归的，因为在树的定义中又用到了树的定义。定义显示出了树固有的特性：一棵树由若干棵互不相交的子树构成，而子树又由更小的若干棵子树构成。

2. 树的逻辑表示

（1）以树形图表示：如图 7.1.1 所示，用一个圆圈表示一个结点，圆圈内的符号代表该结点的数据信息，结点之间的关系通过连线表示。虽然每条连线上都不带有箭头（即方向），但它仍然是有方向的，其方向隐含着从上向下，即连线的上方结点是下方结点的前驱结点，下方结点是上方结点的后继结点。它的直观形象是一棵倒置的树（树根在上，树叶在下）。

（2）以嵌套集合表示：如图 7.1.2 所示，每棵树对应一个圆圈，圆圈内包含根结点和子树的圆圈，同一个根结点下的各个子树对应的圆圈不能相交。结点之间的关系通过圆圈的包含来表示。

图 7.1.2 树的嵌套集合形式

（3）以广义表形式表示：如图 7.1.3 所示，根作为由子树组成的表的名字，写在表的左侧，形如 (root(T1,T2,...,Tm) 。每棵子树的表示方法与整棵树类似，各个子树之间用逗号分开。在这种形式中，结点之间的关系是通过括号的嵌套表示的。

图 7.1.3 树的广义表形式

（4）以凹入形式表示：如图 7.1.4 所示，每棵树的根结点对应一条形，其子树的根对应着一个较短的条形，且树的根结点在上，子树的根在下，同一个根下各个子树的根对应的条形长度一样。

图 7.1.4 树的凹入形式

3. 树的基本术语

• 结点：树中的一个独立单元。包含一个数据元素及若干指向其子树的分支，如图 7.1.1(b) 中的 A、B、C、D 等。

• 结点的度：结点拥有的子树数称为结点的度。例如，图 7.1.1(b) 中结点 A 的度为 3，C 的度为 1，F 的度为 0。

• 树的度：树的度是树内各结点度的最大值。图 7.1.1(b) 所示的树的度为 3。通常将度为 $m$ 的树称为 $m$ 次树。

• 叶子：度为 0 的结点称为叶子或终端结点。图 7.1.1(b) 的结点 K、L、F、G、M、I、J 都是树的叶子。

• 非终端结点：度不为 0 的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，非终端结点也称为内部结点。

• 双亲和孩子：结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲。例如，图 7.1.1(b) 中 B 的双亲为 A，B 的孩子有 E 和 F。

• 兄弟：同一个双亲的孩子之间互称兄弟。例如，图 7.1.1(b) 的 H、I 和 J 互为兄弟。

• 祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。例如，图 7.1.1(b) 中 M 的祖先为 A、D 和 H。

• 子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。如图 7.1.1(b) 中 B 的子孙为 E、K、L和 F。

• 层次：结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。树中任一结点的层次等于其双亲结点的层次加 1。

• 堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。例如，图 7.1.1(b) 中结点 G 与 E、F、H、I、J 互为堂兄弟。

• 树的深度，或称为高度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度。图 7.1.1(b) 所示的树的深度为 4。

  注意：关于树的高度，不同资料会有不同约定，本书的约定，若只含有一个结点，树的高度为 1，空树的高度是 0。

• 有序树和无序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。

• 森林：是 $m(m\ge 0)$ 棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。由此，也可以用森林和树相互递归的定义来描述树。

图 7.1.5 树的有关术语

就逻辑结构而言，任何一棵树都是一个二元组 Tree=(root,F) ，其中 root 是数据元素，称作树的根结点；F 是 $m(m\ge 0)$ 棵树的森林，$\text{F}=(T_1,T_2,\cdots ,T_m)$ ，其中 $T_i=(r_i,F_i)$ 称作根 root 的第 $i$ 棵子树；当 $m\ne 0$ 时，在树根和其子树森林之间存在下列关系：
RF={<root,ri>∣i=1,2,⋯ ,m} RF=\{<root,r_i>|i=1,2,\cdots,m\} RF={<root,ri​>∣i=1,2,⋯,m}
这个定义将有助于得到森林和树与二叉树之间转换的递归定义。