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P6374 「StOI-1」树上询问（倍增+LCA）

news 2025/10/4 5:26:25

题目链接

题目难度

不难，是蓝题。

题目解法概括

主要考察LCA的本质，然后运用倍增优化求解LCA之类的问题。

思路

lca(a, b) 可以理解为节点 a 到节点 b 的简单路径上的转折点，LCA 是有根树上的定义，有根树上的父子关系唯一，所以 a 到 b 的简单路径上的转折点唯一。

那么对于无根树，只有当节点 c 在 a 到 b 的简单路径上，树变成有根树后，c 才有可能成为 a 到 b 的路径上的转折点，而成为 lca(a, b)，所以 c 在 a 到 b 的简单路径上，结果大于0，否则结果为0。

通过这一本质，可以明确结果是否为0，现在聚焦到如何求出结果大于 0 情况下结果具体的值。

首先 a 到 b 的简单路径上 c 以外的节点不能为根，不然这个节点就会是 lca(a, b)（也就是 a 到 b 的简单路径上的转折点），a（或 b）能通向的且通向的路径不经过 c 的节点也不能为根，否则 a（或 b）就为 lca(a, b)。

但是真按规律这么实现，时间复杂度太高，不允许。

对于无根树，第一步是指定根节点，转化为有根树，且整个过程根节点不变，不然调整根节点后，又要重新获取树的信息，太花时间，指定根的目的也是为了方便处理，所有的事都有最终目的。

这道题也可以先固定根，那么规律就变成了：

若 c = lca(a, b)，则结果为 n - nums[jump(a, c)] - nums[jump(b, c)]（nums[u] = 以节点 u 为根的子树的节点个数，jump(u, v) = 节点 u 向上跳到节点 v 的下一层所在的节点），如此剔除了简单路径上 c 以外的节点及 a（或 b）能通向的且通向的路径不经过 c 的节点。
若 c 为 a 到 lca(a, b) 路径上的节点（即 c = lca(a, c) 且 depth[c] > depth[lca(a, b)]），则结果为 nums[c] - nums[jump(a, c)]，nums[c] 不包含节点 b 能通向的且通向的路径不经过 c 的节点及部分 a 到 b 的简单路径上的节点，nums[jump(a, c)] 包含了节点 a 能通向的且通向的路径不经过 c 的节点及部分 a 到 b 的简单路径上的节点，根据容斥原理，可得出答案。
若 c 为 b 到 lca(a, b) 路径上的节点（即 c = lca(b, c) 且 depth[c] > depth[lca(a, b)]），则结果为 nums[c] - nums[jump(b, c)]。

分类讨论完毕，变成有根树后，c 在 a 到 b 的简单路径上的情况就这几种。

实现

用倍增优化 jump 函数及求 LCA 的过程。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;typedef long long LL;const LL Maxn = 5 * 1e5 + 5;
const LL Maxk = 20;vector<LL> tree[Maxn];
LL father[Maxn][Maxk], depth[Maxn], nums[Maxn];void dfs(LL u, LL fa) {depth[u] = depth[fa] + 1;father[u][0] = fa;nums[u] = 1;for (LL i = 1; depth[u] > (1 << i); ++i) {father[u][i] = father[father[u][i - 1]][i - 1];}for (auto v : tree[u]) {if (v == fa)  continue;dfs(v, u);nums[u] += nums[v];}return;
}LL LCA(LL u, LL v) {if (depth[u] < depth[v])  swap(u, v);for (LL i = Maxk - 1; i >= 0; --i) {if (depth[father[u][i]] >= depth[v])  u = father[u][i];}if (u == v)  return u;for (LL i = Maxk - 1; i >= 0; --i) {if (father[u][i] != father[v][i]) {u = father[u][i];v = father[v][i];}}return father[u][0];
}LL jump(LL u, LL v) {if (depth[u] == depth[v])  return 0;for (LL i = Maxk - 1; i >= 0; --i) {if (depth[father[u][i]] > depth[v])  u = father[u][i];}return u;
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);LL n, q, x, y, a, b, c;cin >> n >> q;for (LL i = 1; i < n; ++i) {cin >> x >> y;tree[x].emplace_back(y);tree[y].emplace_back(x);}dfs(1, 0);LL lca_ab = 0, lca_ac = 0, lca_bc;while (q--) {cin >> a >> b >> c;lca_ab = LCA(a, b), lca_ac = LCA(a, c), lca_bc = LCA(b, c);if (c == lca_ab)  cout << (n - nums[jump(a, c)] - nums[jump(b, c)]) << '\n';else if (depth[c] > depth[lca_ab] && c == lca_ac)  cout << (nums[c] - nums[jump(a, c)]) << '\n';else if (depth[c] > depth[lca_ab] && c == lca_bc) cout << (nums[c] - nums[jump(b, c)]) << '\n';else  cout << 0 << '\n';}return 0;
}