网站托管主要干点什么亚马逊seo搜索什么意思

破题点：看到“连续自然数和=完全平方数”，瞬间唤醒等差数列求和公式与平方数的模特征！

📜 问题描述

已知 $5+6+7+\cdots +n$ 是一个完全平方数（即某个整数的平方），下列选项中正确的是（　）．
A. $n$ 的取值有无数个　　　B. $n$ 的最小值小于 15
C. $n$ 为奇数　　　　　　　D. $n\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$

🔍 破题思路

联想等差数列求和公式：
从5到$n$的连续整数和可表示为 $\frac{(\text{首项}+\text{末项})\times \text{项数}}{2}$．
项数为 $n-4$，故和 $S=\frac{(5+n)(n-4)}{2}$．

关联平方数性质：

设 $S=m^2$（$m$ 为整数），即 $\frac{(n+5)(n-4)}{2}=m^2$．
💡妙招：看到乘积=平方数的结构，果断变形为二元方程，并尝试模分析缩小解的范围！

🧮 关键推导

Step 1：构建方程并变形

$$\frac{(n+5)(n-4)}{2}=m^2⟹n^2+n-20=2m^2$$
两边乘4配方：
$$4n^2+4n-80=8m^2⟹(2n+1{)}^2-81=8m^2$$
移项得：
$$(2n+1{)}^2-8m^2=81\text{（关键方程！）}$$

Step 2：模9分析锁定突破口（⚠️灵魂操作）

对关键方程模9处理：
$$(2n+1{)}^2-8m^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$
知识点：平方数模9只能取 {0,1,4,7}\{0, 1, 4, 7\}{0,1,4,7}．

若 $(2n+1{)}^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$，则 $8m^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ → $m^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ → $m$ 和 $2n+1$ 均被3整除．
其他情况同理，最终发现唯一可能：
$$(2n+1{)}^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9),m^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$
即 $3\mid (2n+1)$ 且 $3\mid m$．

Step 3：降阶为佩尔方程（💡神来之笔）

令 $x=\frac{2n+1}{3}$, $y=\frac{m}{3}$，代入方程：
$$(3x{)}^2-8(3y{)}^2=81⟹x^2-8y^2=1$$
佩尔方程（Pell Equation） 出场！其解可表示为：
$$\{\begin{array}{l}{x}_t=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^t+(3-2\sqrt{2}{)}^t}{2}\\ y_t=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^t-(3-2\sqrt{2}{)}^t}{4\sqrt{2}}\end{array}$$

冷知识：此解的结构类似斐波那契数列，是线性递推的“表亲”．

Step 4：求解并验证选项

最小解（$t=1$）：$x_1=3$ → $n=\frac{9\times 3-1}{2}=13$．

✅ 验证：

$5+6+\cdots +13=81=9^2$，且 $13<15$（B正确）．
通解：$n=\frac{9x_t-1}{2}$ 有无穷多组（A正确）．
奇偶性：$t=2$ 时 $x_2=17$ → $n=76$（偶数），C错误．
模9性质：由 $2n+1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ → $n\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$（D正确）．

📚 举一反三：破解“数列和=平方数”的通用策略

1. 求和公式化写成 $S=f(n)$，令其等于 $m^2$$S=\frac{(n+5)(n-4)}{2}=m^2$

2. 变形整式方程消分母→移项配方→二元不定方程$(2n+1{)}^2-8m^2=81$

3. 模分析定特征对模数（如9）分类，排除不可能余数锁定 $n\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$

4. 降阶求通解换元→简化方程（如佩尔方程）→迭代求解$x^2-8y^2=1$

血泪教训：模分析时若跳过平方数余数检验（如模9），可能漏解或误判！

🥚 课后彩蛋

若数列从 $k$ 开始（非5），最小满足条件的 $n$ 是多少？
提示：对 $k=1$，$1+2+\cdots +8=36=6^2$，此时 $n=8$．

挑战：你能找到 $k=3$ 的解吗？（答案藏于佩尔方程的某个 $t$ 中✨）