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LeetCode 188：买卖股票的最佳时机 IV

问题本质与核心挑战

给定股票价格数组 prices 和最多交易次数 k，求能获得的最大利润。需注意，不能同时参与多笔交易（必须卖出前一笔的股票）。

核心难点

• 状态复杂：需跟踪交易次数、是否持有股票两个维度的状态。
• 边界处理：初始状态（如第 0 天的买卖状态）和极端情况（如 k 过大远超实际可交易次数）需特殊处理。
• 状态转移：需推导“持有股票”和“不持有股票”两种状态的转移逻辑。

核心思路：动态规划

状态定义

• buy[i][j]：前 i 天完成 j 笔交易，当前持有股票的最大利润。
• sell[i][j]：前 i 天完成 j 笔交易，当前不持有股票的最大利润。

状态转移

1. 持有股票（buy[i][j]）

有两种可能：

• 第 i 天买入：前 i-1 天不持有股票（状态 sell[i-1][j]），减去 prices[i] 的买入成本。
• 之前已持有：前 i-1 天已持有股票（状态 buy[i-1][j]）。

公式：
$$buy[i][j]=\max (buy[i-1][j],sell[i-1][j]-prices[i])$$

2. 不持有股票（sell[i][j]）

有两种可能：

• 第 i 天卖出：前 i-1 天持有股票（状态 buy[i-1][j-1]），加上 prices[i] 的卖出收益。
• 之前已卖出：前 i-1 天不持有股票（状态 sell[i-1][j]）。

公式：
$$sell[i][j]=\max (sell[i-1][j],buy[i-1][j-1]+prices[i])$$

边界条件

• 第 0 天持有股票：buy[0][0] = -prices[0]（只能买入第 0 天的股票），buy[0][j>0] = -infinity（无法完成交易却持有股票，非法状态）。
• 第 0 天不持有股票：sell[0][0] = 0（无交易），sell[0][j>0] = -infinity（无法完成交易却不持有股票，非法状态）。

特殊优化

若 k 大于实际可交易次数（n/2，因为每次交易至少需要 2 天），直接取 k = n/2 即可（超过部分无意义）。

算法步骤详解（以示例 k=2, prices=[2,4,1] 为例）

步骤 1：初始化

n = 3（天数），k = 2（交易次数）。
优化 k：n/2 = 1，但示例中 k=2 实际有效（因交易可在 3 天内完成 2 次？不，实际 3 天最多 1 次完整交易。这里示例可能特殊，按原逻辑处理）。

初始化 buy 和 sell 数组：

• buy[0][0] = -2（第 0 天买入，成本 2），buy[0][1] = buy[0][2] = -infinity。
• sell[0][0] = 0（第 0 天无交易），sell[0][1] = sell[0][2] = -infinity。

步骤 2：状态转移（遍历天数 i 和交易次数 j）

天数 i=1（价格 4）

• j=0：
  buy[1][0] = max(buy[0][0], sell[0][0]-4) = max(-2, 0-4) = -2
sell[1][0] = max(sell[0][0], buy[0][-1]+4)（j=0 时 j-1 非法，取 sell[0][0]）→ 0

• j=1：
  buy[1][1] = max(buy[0][1], sell[0][1]-4) = max(-inf, -inf-4) = -inf（非法，因 sell[0][1] 是 -inf）
  实际应为：buy[1][1] = max(buy[0][1], sell[0][1]-4) → -inf（但示例中后续会覆盖，这里简化）
  sell[1][1] = max(sell[0][1], buy[0][0]+4) = max(-inf, -2+4) = 2

天数 i=2（价格 1）

• j=1：
  buy[2][1] = max(buy[1][1], sell[1][1]-1) = max(-inf, 2-1) = 1
sell[2][1] = max(sell[1][1], buy[1][0]+1) = max(2, -2+1) = 2

步骤 3：结果计算

最终最大利润为 sell[n-1][0...k] 中的最大值。示例中 sell[2][1] = 2，与预期结果一致。

完整代码（Java）

class Solution {public int maxProfit(int k, int[] prices) {int n = prices.length;if (n == 0) return 0;// 优化：k 超过实际可能的交易次数，取 n/2 即可k = Math.min(k, n / 2);// 初始化 buy 和 sell 数组int[][] buy = new int[n][k + 1];int[][] sell = new int[n][k + 1];final int INF = Integer.MIN_VALUE / 2; // 避免溢出// 第 0 天的边界条件for (int j = 1; j <= k; j++) {buy[0][j] = INF;sell[0][j] = INF;}buy[0][0] = -prices[0];sell[0][0] = 0;// 遍历天数和交易次数for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= k; j++) {// 处理 buy[i][j]if (j <= k) {buy[i][j] = Math.max(buy[i-1][j], (sell[i-1][j] == INF ? INF : sell[i-1][j] - prices[i]));}// 处理 sell[i][j]if (j == 0) {sell[i][j] = sell[i-1][j]; // j=0 时 j-1 非法，无法交易} else {sell[i][j] = Math.max(sell[i-1][j], (buy[i-1][j-1] == INF ? INF : buy[i-1][j-1] + prices[i]));}}}// 取所有可能交易次数的最大值int maxProfit = 0;for (int j = 0; j <= k; j++) {maxProfit = Math.max(maxProfit, sell[n-1][j]);}return maxProfit;}
}

关键逻辑解析

1. 数组初始化：用 INF 表示非法状态（避免溢出用 Integer.MIN_VALUE / 2）。
2. 状态转移：判断 INF 避免非法状态参与计算。
3. 结果计算：遍历所有可能的交易次数 j，取 sell 数组的最大值（因最终不持有股票利润更大）。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n*k)（遍历天数 n 和交易次数 k）。
• 空间复杂度：O(n*k)（存储 buy 和 sell 数组，可优化为 O(k) 滚动数组）。

通过动态规划清晰跟踪交易状态，结合边界条件和优化，可高效解决最多 k 次交易的股票问题。