二维凸包——Andrew 算法学习笔记

例题：洛谷P2742【模板】二维凸包

更适合初学者体质的题解。

1.凸包介绍

在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包。

根据三角不等式，凸包也一定是包含所有给定点的周长最小多边形。

同样可以理解为，我们在地上钉了一些钉子，有一个有弹性皮筋，我们把它拉大框住所有钉子，然后松手，皮筋的形状就是凸包。

上凸壳（qiao or ke？）一般指凸包的上半部分，看完本篇题解应该会有更深刻的理解。

显然，这个题目求的是凸包的周长。

2.Andrew 算法介绍

一个求凸包的算法，或许也叫安德鲁算法？

我们先按照横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字，从小到大排序。显然，第一个点和最后一个点一定在凸包上。

我们先考虑求上凸壳，下凸壳同理。

在排好序的点中从小到大枚举，加入一个新点 $c$ 时，如果形成了凹多边形（如下图），那么不合法，依照三角不等式，连接点 $a$ 和点 $c$ 更优，我们直接删掉点 $b$，连接点 $a$ 和点 $c$。否则直接加入点 $c$，连接点 $b$ 和点 $c$。

这样就可以求出上凸壳了。

实现过程其实就是单调栈。

其实按照双关键字排序的作用只有求出第一个和最后一个点，在后续算法中，只需要按照横坐标排序即可。同样，我们发现，除了最后一个点之外，其余相同横坐标的情况下，只有纵坐标最高的点有可能成为上凸壳上的点。当然，这里直接用排序好的数组即可，方便，并且相同横坐标下纵坐标低的也不会影响结果。

如何判断是否形成凹多边形？可以发现，直线 $ab$ 的斜率小于直线 $bc$ 的斜率，据此判断即可。如果求斜率有精度问题，可以去分母求（详见代码）。

这样，我们就得到了上凸壳的一个性质：其斜率依次递减。

时间复杂度 $O(n\log_{2}{n}) $，瓶颈在于排序。

3.代码

#include<bits/stdc++.h>
//#define printf __mingw_printf
//在一些本地编译器(如DEV和小熊猫)中,long double有兼容性问题,需要用
//__mingw_printf输出,不过洛谷不需要，而且用__mingw_printf会报错
using namespace std;
const int N=1e5+5;
struct point
{double x,y;
}a[N],q[N];
int n,tp;
bool cmp(point a,point b)
{return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);sort(a+1,a+1+n,cmp);q[++tp]=a[1];for(int i=2;i<=n;i++)//求上凸壳{while(tp>=2&&(a[i].y-q[tp].y)*(q[tp].x-q[tp-1].x)>=(q[tp].y-q[tp-1].y)*(a[i].x-q[tp].x))tp--;q[++tp]=a[i];}long double ans=0;//以防万一爆掉for(int i=1;i<tp;i++)//计算凸包周长ans+=sqrt((q[i].y-q[i+1].y)*(q[i].y-q[i+1].y)+(q[i].x-q[i+1].x)*(q[i].x-q[i+1].x));tp=1,q[tp]=a[n];for(int i=n-1;i>=1;i--){while(tp>=2&&(a[i].y-q[tp].y)*(q[tp].x-q[tp-1].x)>=(q[tp].y-q[tp-1].y)*(a[i].x-q[tp].x))tp--;q[++tp]=a[i];}	for(int i=1;i<tp;i++)ans+=sqrt((q[i].y-q[i+1].y)*(q[i].y-q[i+1].y)+(q[i].x-q[i+1].x)*(q[i].x-q[i+1].x));printf("%.2Lf",ans);	//用Lf输出return 0;
}

4.扩展用途

有什么用呢？有没有发现凸包和斜率优化很像？当然还有更多用途，这里就不多说了。