Cesium 内置变量 czm_ellipsoidInverseRadii

Cesium 内置变量 czm_ellipsoidInverseRadii

// 定义: 椭球体沿主轴 (x, y, z) 方向半径的倒数
// 类型: vec3
czm_ellipsoidInverseRadii

// 实现
ellipsoid._oneOverRadii = new Cartesian3(x === 0.0 ? 0.0 : 1.0 / x,y === 0.0 ? 0.0 : 1.0 / y,z === 0.0 ? 0.0 : 1.0 / z,
);

应用

ellipsoidSurfaceFunction

// 确定给定点是位于 3D 空间中椭球体表面的表面上、内部还是外部
float ellipsoidSurfaceFunction(vec3 point)
{// 归一化, 缩放到单位球上vec3 scaled = czm_ellipsoidInverseRadii * point;return dot(scaled, scaled) - 1.0;
}

椭球体： 一个以原点为中心、半轴长为 (a)、(b)、© 的椭球体的方程为：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$
这里的 $a,b,c$是椭球体沿$x,y,z$轴的半轴长度。

单位球体：单位球体是以原点为中心、半径为 1 的球体，其方程为:
$$x^2+y^2+z^2=1$$

归一化的目标是通过坐标变换，将椭球体的方程转换为单位球体的方程。

要将椭球体归一化为单位球体，我们需要对坐标进行缩放，使得椭球体的半轴长度被归一化为 1。具体步骤如下：

定义一个新的坐标系 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$，通过以下线性变换将原始坐标 $(x,y,z)$ 映射到归一化坐标：
$$x^{\prime }=\frac{x}{a},y^{\prime }=\frac{y}{b},z^{\prime }=\frac{z}{c}$$

这等价于将点 (x, y, z) 乘以一个对角缩放矩阵，其对角元素是椭球体半轴长度的倒数：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1/a& 0& 0\\ 0& 1/b& 0\\ 0& 0& 1/c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}xyz\end{array}\right]$$

代码实现:

// 实现了上述缩放变换，将输入点 point = (x, y, z) 转换为归一化坐标 scaled = (x', y', z') = (x/a, y/b, z/c)。
vec3 scaled = czm_ellipsoidInverseRadii * point;

因此，通过这种缩放，椭球体的表面被映射到单位球体的表面

// 计算变换后点的平方欧几里得距离
dot(scaled, scaled)

$$\begin{array}{rl}dot(scaled,scaled)& =x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\\ & =\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\end{array}$$

$$f(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1$$

• $f(x,y,z)=0$, 原始点在椭球体表面
• $f(x,y,z)<0$, 原始点在椭球体内
• $f(x,y,z)>0$, 原始点在椭球体外

出处

// 计算点 point 相对于椭球体表面的距离
float cartesianToGeographic(vec3 cartesian)
{vec3 inverseRadii = czm_ellipsoidInverseRadii;float radiix = 1.0/inverseRadii.x;float radiiy = 1.0/inverseRadii.y;float radiiz = 1.0/inverseRadii.z;float scale = sqrt( 1.0 / (cartesian.x * cartesian.x / (radiix * radiix) + cartesian.y * cartesian.y / (radiiy * radiiy) + cartesian.z * cartesian.z / (radiiz * radiiz)));vec3 pos = scale * cartesian;float dis = distance(cartesian, pos);return dis;
}

类似的功能:

bool czm_ellipsoidContainsPoint(vec3 ellipsoid_inverseRadii, vec3 point)
{vec3 scaled = ellipsoid_inverseRadii * (czm_inverseModelView * vec4(point, 1.0)).xyz;return (dot(scaled, scaled) <= 1.0);
}