C++ 位运算 高频面试考点 力扣 371. 两整数之和 题解 每日一题

题目解析

题目链接：力扣 371. 两整数之和

题目描述：

示例 1：
输入：a = 1, b = 2
输出：3

示例 2：
输入：a = 2, b = 3
输出：5

限制：

1. -1000 <= a, b <= 1000

为什么这道题值得你花几分钟弄懂？

这道题是打破“常规运算思维”的经典题目——它强制我们跳出“直接用 + - 号计算”的惯性，深入理解计算机底层的二进制加法逻辑。其核心价值不在于“算出结果”，而在于掌握“位运算模拟算术运算”的核心思路，这是面试中考察“底层逻辑理解能力”的高频考点。

面试官考察这道题时，核心关注三点：

1. 能否联想到“二进制加法拆分”，将求和拆分为“无进位加法”和“进位处理”两部分，体现对加法本质的理解；
2. 能否用位运算分别实现“无进位加法”和“进位计算”，暴露对位运算特性的掌握程度；
3. 能否处理“负数进位”的边界问题（即为何要用 unsigned int），彰显对计算机中“补码存储”的细节认知。

如果对位运算的基础特性（如异或、与、左移）有些生疏，建议先回顾位运算的核心规则：异或（^）可模拟“无进位相加”，与（&）+ 左移（<<1）可模拟“进位计算”，这是解决本题的核心工具。可以根据我的这篇博客进行理解回忆 位运算 常见方法总结 算法练习 C++

这道题的核心解法：位运算模拟加法

由于题目禁止使用 + - 运算符，我们必须回归加法的本质——二进制加法。在二进制中，两个数的加法可拆分为“无进位加法结果”和“进位值”两部分，重复处理这两部分直到无进位，最终结果即为总和。

二进制加法的本质

以十进制加法 13 + 9 = 22 为例，其二进制表示为 1101 + 1001 = 10110。我们可将其拆分为两步：

1. 无进位加法(即异或)：异或的本质就是无进位相加，即不考虑进位，对应位直接相加（0+0=0，0+1=1，1+1=0），结果为 0100（即十进制的 4）；
   

2. 计算进位：仅保留产生进位的位（只有 1+1 会产生进位，进位值向左移 1 位），即我们可以用按位与统计哪个位要进位，在左移一位进行进位操作，结果为 10010（即十进制的 18）；
   

3. 重复处理：将“无进位结果”与“进位值”再次执行上述两步，直到进位值为 0。此时无进位结果即为最终总和：
   第二次无进位加法：0100 + 10010 = 10110（无进位），进位值为 0，最终结果为 10110（十进制 22）。
   

位运算如何实现这两步？
我们可以用三种位运算分别实现二进制加法的核心操作：

操作需求	位运算实现	原理说明
无进位加法	a ^ b	异或的特性：相同为 0（1^1=0），不同为 1（0^1=1），完全匹配“无进位相加”规则
计算进位值	(a & b) << 1	1. 与运算（a&b）：仅当对应位均为 1 时结果为 1，标记出“需要进位的位”； 2. 左移 1 位（<<1）：进位值需传递到下一位，符合加法进位规则

完整位运算解法

基于上述原理，我们可以设计一个循环：不断用“无进位结果”更新 a，用“进位值”更新 b，直到 b 为 0（无进位），此时 a 即为最终总和。

1. 代码实现

class Solution {
public:int getSum(int a, int b) {while(b != 0)  // 当进位值为0时，循环结束，a即为结果{// 1. 计算无进位加法结果int sum = a ^ b;// 2. 计算进位值：用unsigned int避免负数进位的符号位问题unsigned int carry = (unsigned int)(a & b) << 1;// 3. 更新a为无进位结果，b为进位值，进入下一轮循环a = sum;b = carry;}return a;}
};

2. 关键解析：为什么要用 unsigned int？
这是本题最容易被忽略的细节，也是面试中的高频考点——解决负数进位时的“符号位扩展”问题。

背景：计算机中负数的存储方式
计算机用“补码”存储负数，最高位（符号位）为 1 表示负数。例如在 32 位系统中：

• 十进制 -1 的二进制补码为 11111111 11111111 11111111 11111111（符号位为 1，其余位全 1）；
• 当对负数执行左移操作（<<1）时，若不处理符号位，编译器会进行“符号位扩展”（即保持符号位不变，填充 1 而非 0），导致进位值计算错误。

问题演示：若不用 unsigned int 会怎样？
假设 a = -1（补码 11111111），b = -1（补码 11111111）：

1. 计算 a & b：结果为 11111111（符号位为 1，表示负数）；
2. 直接左移 1 位（(a&b) << 1）：由于符号位扩展，结果会变成 11111110（仍为负数），而非正确的进位值 11111110（作为无符号数时表示十进制 254，即进位值应传递的正确值）；
3. 最终导致循环无法终止，或计算结果错误。

unsigned int 的作用
unsigned int（无符号整数）会强制编译器将变量视为“无符号数”，完全忽略符号位，左移时仅在右侧填充 0，避免符号位扩展导致的进位错误。即使原始 a 和 b 是负数，通过 (unsigned int)(a & b) 转换后，也能正确计算进位值的二进制表示，确保循环正常终止。

3. 解法优劣势分析

优点	缺点
✅ 完全符合题目要求：不使用 + - 运算符	⚠️ 逻辑依赖二进制基础：需理解补码、位运算特性，对新手不友好
✅ 时间复杂度 O(1)：循环次数最多为整数的位数（如 32 位系统最多 32 次），可视为常数时间	⚠️ 需处理符号位细节：必须用 unsigned int 避免负数进位错误，否则会出 bug
✅ 空间复杂度 O(1)：仅用几个变量存储中间结果，无额外空间开销
✅ 通用性强：适用于正负数、零的所有组合，无边界限制

注：每次进位至少将最高位的1左移一位，而32位整数的符号位占1位，因此最多左移31次后，进位值会超出表示范围而“自然溢出”为0，故循环次数不超过32次。

其他思路对比（仅作思路扩展）

虽然本题的最优解是位运算，但为了更全面地理解“禁止 + - 时的求和方式”，以下两种思路可作为对比（实际面试中不推荐，效率或通用性差）：

利用数组下标（仅限非负数）

核心思路：创建一个长度为 a+1 的数组，再通过数组下标访问 b 次，最终下标即为 a+b。
局限性：

• 无法处理负数（数组下标不能为负）；
• 当 a 或 b 较大时（如 1000），数组会占用大量冗余空间，效率极低。

代码示例：

class Solution {
public:int getSum(int a, int b) {// 仅适用于a、b为非负数的情况if (a < 0 || b < 0) return -1; // 负数处理不了char arr[a + 1]; // 创建长度为a+1的数组return (int)(&arr[b] - arr); // 下标差即为a+b}
};

利用栈的深度（仅限非负数）

核心思路：通过递归调用栈的深度模拟加法，递归 a 次后再递归 b 次，栈的深度即为总和。
局限性：

• 无法处理负数；
• 递归深度过大时（如 a+b=1000）会触发栈溢出，程序崩溃。

代码示例：

class Solution {
public:int getSum(int a, int b) {if (b == 0) return a;// 递归一次相当于b减1，a加1，直到b为0return getSum(a + 1, b - 1); }
};

扩展思考：位运算解法与计算机底层加法逻辑的关联

我们必须先明确一个核心事实：我们的位运算解法，本质上是对计算机底层处理+和-运算的逻辑复刻。计算机硬件层面并不直接识别“+”和“-”这类符号，而是通过补码编码与全加器电路，将加减法统一为二进制位运算与进位处理，而这正是本题解法的设计依据。

计算机底层如何处理+和-？

计算机处理加减法的核心机制可概括为"一套电路、两种运算"：

1. 存储基础：补码编码

   • 计算机中所有整数（包括正数、负数）都以"补码"形式存储，这是实现加减统一的关键。
   • 正数补码=原码（符号位为0，数值位为二进制绝对值）
   • 负数补码=绝对值的反码+1（符号位为1，确保减法可转化为加法）
   • 举例：8位系统中，-3的补码是11111101（3的原码00000011→反码11111100→+1→11111101）

2. 加法实现：全加器电路

   • 硬件核心是"全加器"电路，它能处理两个二进制位的相加并考虑低位进位：
     • 本位和 = 被加数 ^ 加数 ^ 低位进位（异或运算实现无进位相加）
     • 向高位进位 = (被加数 & 加数) | (被加数 & 低位进位) | (加数 & 低位进位)（与运算识别进位位）
   • 32位整数加法通过32个全加器串联实现，低位进位逐位传递到高位，直到最高位

3. 减法实现：转化为加法

   • 计算机没有专门的减法器，a - b会被自动转换为a + (-b)
   • -b通过"对b的补码取反加1"获得（与补码的定义一致）
   • 最终仍通过加法器完成运算，实现了"一套硬件电路处理两种运算"

本题解法如何复刻底层逻辑？

我们的位运算解法与计算机底层加法逻辑形成了完美映射：

计算机底层机制	本题位运算实现	对应代码
无进位加法计算	异或运算 a ^ b	sum = a ^ b
进位值计算	与运算+左移 (a & b) << 1	carry = (unsigned int)(a & b) << 1
进位传递循环	循环处理进位直到无进位	while(b != 0) { ... }
补码处理负数	直接对补码执行位运算	无需额外处理，直接操作a和b
避免符号位扩展	硬件自动按无符号处理进位	unsigned int强制无符号左移

以-1 + 2的计算为例：

• 底层：-1的补码11111111与2的补码00000010通过全加器逐位计算
• 本题：a ^ b得到无进位结果11111101（-3），(a & b) << 1得到进位00000100（4），循环处理直到进位为0

这种对应关系揭示了一个重要事实：本题要求"不用+和-实现求和"，本质上是让我们手动实现一次计算机硬件的加法过程。我们用软件代码模拟了硬件电路的逻辑，这就是解法的根本依据。

理解了这层关联，不仅能掌握本题解法，更能触类旁通——所有位运算模拟算术运算的题目（如乘法、除法），其本质都是对计算机底层运算逻辑的软件复现。

面试避坑指南

1. 忘记处理负数进位：若不用 unsigned int 转换进位值，负数求和会因符号位扩展导致循环无法终止，这是最常见的错误，必须主动提及并解释；
2. 循环条件错误：循环条件应为 b != 0（而非 a != 0），因为我们需要等待“进位值”消失，而非“无进位结果”消失；
3. 混淆无进位加法和进位计算：记住“异或算无进位，与+左移算进位”，不要颠倒两者的作用；
4. 忽略补码知识：面试中可能会被追问“负数如何用位运算求和”，需简要说明“计算机用补码存储负数，位运算可直接对补码操作，无需额外处理符号”。

思考题

如果题目允许使用 + - 运算符，但禁止使用 * / 运算符，如何计算两整数的乘积？
（提示：同样可用位运算，将乘法拆分为“左移”和“加法”，例如 a*3 = a*2 + a = (a << 1) + a）
可以用“俄罗斯农民乘法”或“二进制拆分法”，你能写出最优版本吗？欢迎评论区贴代码，我会选最优答案置顶！

下题预告

137. 只出现一次的数字 II

下一篇将讲解力扣 137. 只出现一次的数字 II，带你跳出 “异或直接消去重复” 的思维惯性，解锁位运算 “按位统计次数、模运算筛选唯一” 的核心逻辑——当数组中除一个元素外，其余元素均出现三次时，如何用常数空间、线性时间精准定位那个唯一元素，将是我们深入探讨的重点，尤其会聚焦 “位级计数” 这一面试高频的位运算进阶技巧。

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