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1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

1. 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。
2. 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。
3. 它的左右子树也分别为二叉搜索树。
4. ⼆叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值。
   

2. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： log2 N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： N
所以综合而二叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

二分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。

2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

3.二叉搜索树的插入

• 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
• 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走找到空位置，插入新结点。
• 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）

4. 二叉搜索树的查找

• 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
• 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
• 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回
• 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。

5. 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩子均为空
2. 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
3. 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空
   对应以上四种情况的解决方案：

• 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是一样的）
• 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
• 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
• 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法
  删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转二变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
  
  
  

6.二叉搜索树的实现代码

template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};
// Binary Search Tree
template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{				return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 0-1个孩⼦的情况// 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针指向即可if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}else				{// 2个孩⼦的情况// 删除情况4，替换法删除// 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除// 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的情况// ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。Node * rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}private:Node * _root = nullptr;};

7. 二叉搜索树key和key/value使用场景

7.1 key搜索场景：

场景1：小区无人值守车库，那么物业会把买了车位的业主的
车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景2：检查⼀篇英文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

7.2 key/value搜索场景：

每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查
找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。