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一、数学基础部分

1. 什么是矩阵的秩？

矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行向量或列向量的最大数目。
简单来说，它能衡量矩阵所包含的“有效信息”的多少。例如，对于一个3×3的矩阵，如果它的三行（或三列）向量中，只有两行（或两列）是线性独立的，那么这个矩阵的秩就是2。

矩阵的秩在很多方面都有重要应用，

1. 比如判断矩阵是否可逆。当矩阵的秩等于它的阶数时，矩阵可逆；反之则不可逆。
2. 此外，在求解线性方程组时，矩阵的秩也能帮助我们判断方程组是否有解，以及有多少个解。如果系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，方程组有解；若两者不相等，则方程组无解。

 

2. 什么是特征值和特征向量？

对于给定的方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，满足Ax = λx，那么λ就是矩阵A的一个特征值，而x就是对应于特征值λ的一个特征向量。

从几何意义上理解，把矩阵看作是对向量的一种变换，特征向量在这种变换下，方向虽然可能不变（或只是反向），但长度会按照特征值的比例进行缩放。

比如，特征值为2，那么特征向量在矩阵变换后，长度变为原来的2倍；特征值为0.5，长度则变为原来的一半。

特征值和特征向量在诸如图像处理、数据分析、物理力学等众多领域都有广泛应用，能帮助我们简化复杂的计算和分析。

从几何意义上进行理解即是，对于一个给定的方阵，如果存在一个非零向量和一个标量，使得矩阵作用于该向量的结果等于该标量乘以向量本身，那么这个标量称为特征值，对应的非零向量称为该矩阵的特征向量。简而言之，特征向量在矩阵作用下仅经历缩放，而缩放的比例即为特征值。

 

3. 实对称矩阵有两个相同的特征值，对应的特征向量一定正交嘛？

不一定正交。
如果实对称矩阵有两个不同的特征值，对应的特征向量一定正交，对于相同的特征值，其对应的特征向量可以是线性无关的，但不一定正交，不过可以通过施密特正交化方法，可以将这些线性无关的特征向量正交化

4. 行列式为零的矩阵有什么性质？

行列式为零的矩阵被称为奇异矩阵，它具有一系列特殊性质。

1. 奇异矩阵不可逆，这意味着不存在另一个矩阵，使得它们相乘得到单位矩阵。
2. 该矩阵的行向量和列向量是线性相关的，也就是说，其中至少有一个行向量（或列向量）可以由其他行向量（或列向量）线性表示。
3. 从秩的角度看，它的秩小于其阶数。
4. 在特征值方面，奇异矩阵至少有一个特征值为零。
5. 在求解齐次线性方程组时，如果系数矩阵是奇异矩阵，那么该方程组有非零解。

降维：
例如，在一个平面几何问题中，如果用矩阵来表示线性变换，奇异矩阵所对应的变换可能会将整个平面压缩到一条直线或一个点上，丢失了原有的一些信息。

 

5. 条件概率的定义是什么？

条件概率是指在给定某一事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率。

假设我们有两个事件A和B，在事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率记为P(A|B) 。它的计算公式是 P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B