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Nabla 分数阶微积分定义
Nabla 分数阶微积分是时间尺度上的分数阶微积分，适用于离散时间系统。其定义基于向后差分算子（Nabla 算子）和分数阶积分。
1. 向后差分算子（Nabla 算子）
对于离散时间序列 f : Z → R f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R} f:Z→R，Nabla 算子定义为：
∇ f ( t ) = f ( t ) − f ( t − 1 ) \nabla f(t) = f(t) - f(t-1) ∇f(t)=f(t)−f(t−1)
2. 分数阶积分
分数阶积分通过离散卷积定义。对于分数阶 α > 0 \alpha > 0 α>0，分数阶积分 ∇ − α \nabla^{-\alpha} ∇−α 为：
∇ − α f ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( α + k − 1 k ) f ( t − k ) \nabla^{-\alpha} f(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha + k - 1}{k} f(t - k) ∇−αf(t)=∑k=0∞(kα+k−1)f(t−k)
其中， ( α + k − 1 k ) \binom{\alpha + k - 1}{k} (kα+k−1) 是广义二项式系数。
3. 分数阶微分
分数阶微分 ∇ α \nabla^{\alpha} ∇α 定义为分数阶积分的逆运算：
∇ α f ( t ) = ∇ n ∇ − ( n − α ) f ( t ) \nabla^{\alpha} f(t) = \nabla^{n} \nabla^{-(n - \alpha)} f(t) ∇αf(t)=∇n∇−(n−α)f(t)
其中， n n n 是大于 α \alpha α 的最小整数。
推导
1. 分数阶积分的推导
分数阶积分通过离散卷积实现，利用广义二项式系数：
∇ − α f ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( α + k − 1 k ) f ( t − k ) \nabla^{-\alpha} f(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha + k - 1}{k} f(t - k) ∇−αf(t)=∑k=0∞(kα+k−1)f(t−k)
广义二项式系数定义为：
( α + k − 1 k ) = ( α + k − 1 ) ( α + k − 2 ) ⋯ α k ! \binom{\alpha + k - 1}{k} = \frac{(\alpha + k - 1)(\alpha + k - 2) \cdots \alpha}{k!} (kα+k−1)=k!(α+k−1)(α+k−2)⋯α
2. 分数阶微分的推导
分数阶微分通过整数阶微分和分数阶积分的组合实现：
∇ α f ( t ) = ∇ n ∇ − ( n − α ) f ( t ) \nabla^{\alpha} f(t) = \nabla^{n} \nabla^{-(n - \alpha)} f(t) ∇αf(t)=∇n∇−(n−α)f(t)
其中，$ n$ 是大于 α \alpha α 的最小整数， ∇ n \nabla^{n} ∇n是 n n n 阶向后差分算子。
总结
Nabla 分数阶微积分通过向后差分算子和广义二项式系数定义分数阶积分和微分，适用于离散时间系统的分数阶微积分分析。