P1989 三元环计数

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给定 $n$ 个点，$m$ 条边无向图，求其三元环个数。不保证图联通。$n\le 10^5,m\le 2\times 10^5$

先给每个点记录自己的度数，接着按照度数小向度数大连边，度数相同则按照编号从小往大连边的规则连边，最后我们要求的三元环 $<u,v,w>$一定满足有 $<u,v>,<u,w>,<v,w>$。
直接枚举 $u$，再按边找 $v$,按 $v$ 的边找 $w$，最后若 $w$ 与 $u$ 相连，则找到。这里我们可以通过在枚举 $u$ 时对与其相连的所有点都打上标记的方式来方便 $O(1)$ 查找 $w$ 与 $u$ 的相连情况。
这样就非常巧妙地做完了，时间复杂度 $O(m\sqrt{m})$。
证明如下：
若 $v$ 的度数小于根号，我们知道新图的度数一定不大于原图度数，所以 $v$ 的出边的个数最多也小于根号。
若 $v$ 的度数大于等于根号，又因为我们把度数小的边向度数大的边连边，所以从 $v$ 出发相连的点度数都大于根号，而这些点最多不会超过根号。
所以最终为 $O(m\sqrt{m})$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=2e5+5;
const int M=2e5+5;
int n,m; 
struct node{int v,nxt;
}e[M],e2[M];
int h[M],tot;
int d[N];
int vis[N];
int ox[N],oy[N];
int ans;
void add(int x,int y){e[++tot].nxt=h[x];e[tot].v=y;h[x]=tot;
}
int main(){memset(h,-1,sizeof h);scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&ox[i],&oy[i]);d[ox[i]]++,d[oy[i]]++;}for(int i=1;i<=m;i++){if(d[ox[i]]==d[oy[i]]){add(min(ox[i],oy[i]),max(ox[i],oy[i]));}else{if(d[ox[i]]<d[oy[i]]) add(ox[i],oy[i]);else add(oy[i],ox[i]);}}for(int u=1;u<=n;u++){for(int i=h[u];~i;i=e[i].nxt){vis[e[i].v]=1;}for(int i=h[u];~i;i=e[i].nxt){int v=e[i].v;for(int j=h[v];~j;j=e[j].nxt){if(vis[e[j].v]==1) ans++;}}for(int i=h[u];~i;i=e[i].nxt){vis[e[i].v]=0;}}printf("%d\n",ans);return 0;
}