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第十六周-基本量子3

news 2025/9/29 7:41:23

目录

摘要

1. 正交归一基与量子测量

1.1 正交归一基的定义

1.2 量子测量原理

2. 超密编码

2.1 协议步骤

2.2 资源分析

3. 量子隐形传态

3.1 协议步骤

3.2 资源分析

4. 量子电路基础

4.1 量子电路表示规则

4.2 单量子比特门

5. 控制门

5.1 CNOT门（控制非门）

5.2 一般控制-U门

摘要

文章系统介绍了量子信息处理的核心概念与技术。首先阐述了正交归一基的定义及其在量子测量中的应用，包括测量概率计算和基变换方法。其次详细讲解了两种重要量子通信协议：超密编码（利用1个量子比特传递2个经典比特）和量子隐形传态（借助纠缠态传输未知量子态）。随后介绍了量子电路基础，包括单量子比特门（泡利门、旋转门）和控制门（CNOT、控制-U门）的工作原理及矩阵表示。全文内容覆盖量子测量、量子通信和量子计算的基本要素，为量子信息处理提供了理论基础。

Abstract

This article systematically introduces the core concepts and technologies of quantum information processing. It first explains the definition of orthonormal bases and their applications in quantum measurement, including the calculation of measurement probabilities and basis transformation methods. Next, it provides a detailed explanation of two important quantum communication protocols: superdense coding (transmitting 2 classical bits using 1 qubit) and quantum teleportation (transmitting an unknown quantum state with the aid of entanglement). Subsequently, it introduces the fundamentals of quantum circuits, including the working principles and matrix representations of single-qubit gates (Pauli gates, rotation gates) and controlled gates (CNOT, controlled-U gates). The article covers the basic elements of quantum measurement, quantum communication, and quantum computation, providing a theoretical foundation for quantum information processing.

1. 正交归一基与量子测量

1.1 正交归一基的定义

在量子力学中，一组向量${|\varphi_i\rangle}$构成正交归一基，当且仅当满足：

  • $\langle\varphi_i|\varphi_j\rangle = \delta_{ij}$（正交且归一化）

  • $\sum_i |\varphi_i\rangle\langle\varphi_i| = \mathbb{I}$（完备性）

单量子比特例子：

  • 计算基：${|0\rangle, |1\rangle}$

  • Hadamard基：${|+\rangle, |-\rangle}$，其中：

    ∣+⟩=12(∣0⟩+∣1⟩),∣−⟩=12(∣0⟩−∣1⟩)∣+⟩=2​1​(∣0⟩+∣1⟩),∣−⟩=2​1​(∣0⟩−∣1⟩)

1.2 量子测量原理

设$B={|\varphi_i\rangle}$是量子系统状态空间的正交归一基。如果系统处于状态$|\psi\rangle = \sum_i a_i |\varphi_i\rangle$，则：

  • 测量结果为"i"的概率为$|a_i|^2$

  • 测量后系统坍缩到状态$|\varphi_i\rangle$

实例：测量$|\psi\rangle = \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle$在${|+\rangle, |-\rangle}$基下

解法一：直接计算内积

⟨+∣ψ⟩=1+322⇒Pr⁡(+)=∣1+322∣2=2+34⟨+∣ψ⟩=22​1+3​​⇒Pr(+)=​22​1+3​​​2=42+3​​

解法二：基变换

∣ψ⟩=1+322∣+⟩+1−322∣−⟩∣ψ⟩=22​1+3​​∣+⟩+22​1−3​​∣−⟩

2. 超密编码

超密编码允许Alice通过发送一个量子比特向Bob传递两个经典比特的信息。

2.1 协议步骤

  1. 初始状态：Alice和Bob共享一个纠缠态$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$（ebit）

  2. Alice编码：根据要发送的两位经典信息$ZX \in {00, 01, 10, 11}$，Alice对其拥有的量子比特应用相应操作：

    • $00 \rightarrow I$（恒等操作）

    • $01 \rightarrow X$

    • $10 \rightarrow Z$

    • $11 \rightarrow ZX$

  3. 状态变换：

    • $(I \otimes I)|\beta_{00}\rangle = |\beta_{00}\rangle$

    • $(X \otimes I)|\beta_{00}\rangle = |\beta_{01}\rangle$

    • $(Z \otimes I)|\beta_{00}\rangle = |\beta_{10}\rangle$

    • $(ZX \otimes I)|\beta_{00}\rangle = |\beta_{11}\rangle$

  4. 传输与解码：Alice发送其量子比特给Bob，Bob在Bell基下测量即可解码出两个经典比特。

2.2 资源分析

  • 消耗：1个纠缠比特（ebit）

  • 传输：1个量子比特

  • 信息量：2个经典比特

3. 量子隐形传态

量子隐形传态解决了仅使用经典信道传输量子态的问题。

3.1 协议步骤

  1. 初始状态：Alice要发送未知态$|\psi\rangle = a_0|0\rangle + a_1|1\rangle$，且Alice与Bob共享Bell态$|\beta_{00}\rangle$

  2. 整体状态：$|\psi\rangle \otimes |\beta_{00}\rangle = \frac{1}{2}[|\beta_{00}\rangle|\psi\rangle + |\beta_{01}\rangle X|\psi\rangle + |\beta_{10}\rangle Z|\psi\rangle + |\beta_{11}\rangle XZ|\psi\rangle]$

  3. Alice操作：

    • 在Bell基下测量其拥有的两个量子比特

    • 将测量结果（两个经典比特）发送给Bob

  4. Bob操作：根据收到的经典信息，对其量子比特应用相应操作恢复原态：

    • $00 \rightarrow I$

    • $01 \rightarrow X$

    • $10 \rightarrow Z$

    • $11 \rightarrow XZ$

3.2 资源分析

  • 消耗：1个纠缠比特（ebit）

  • 传输：2个经典比特

  • 信息量：1个量子比特

4. 量子电路基础

4.1 量子电路表示规则

  • 从左到右执行

  • 量子比特初始化为$|0\rangle$

  • 在计算基下测量

  • 实线表示量子线路，虚线表示经典线路

  • 测量符号：$\xrightarrow{\hskip 14.226378pt}$

4.2 单量子比特门

基本泡利门：

  • $X = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$（比特翻转）

  • $Y = \begin{pmatrix}0&-i\i&0\end{pmatrix}$

  • $Z = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$（相位翻转）

旋转门：

  • $R_X(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}X} = \cos\frac{\theta}{2}I - i\sin\frac{\theta}{2}X$

  • $R_Y(\theta) = \cos\frac{\theta}{2}I - i\sin\frac{\theta}{2}Y$

  • $R_Z(\theta) = \cos\frac{\theta}{2}I - i\sin\frac{\theta}{2}Z$

任意单量子比特门可分解为：$e^{i\phi}R_Z(\theta_3)R_X(\theta_2)R_Z(\theta_1)$

5. 控制门

5.1 CNOT门（控制非门）

  • 控制比特$|x\rangle$，目标比特$|y\rangle$

  • 输出：$|x\rangle|x \oplus y\rangle$

  • 矩阵表示：$\begin{pmatrix}I & 0 \\ 0 & X\end{pmatrix}$

5.2 一般控制-U门

  • 当控制比特为$|0\rangle$时：$|0\rangle|\psi\rangle \rightarrow |0\rangle|\psi\rangle$

  • 当控制比特为$|1\rangle$时：$|1\rangle|\psi\rangle \rightarrow |1\rangle U|\psi\rangle$

  • 矩阵表示：$|0\rangle\langle 0| \otimes I + |1\rangle\langle 1| \otimes U$

广播机制（深度学习）：广播机制在PyTorch中，广播机制要求两个张量从后往前逐维度比较，每个维度必须相等或者其中一个是1，或者其中一个不存在（即维度长度为1可以扩展，或者其中一个张量在某个维度上缺失，可以扩展）。

第一个维度：a是1，b是2 -> 可以广播

第二个维度：a是3，b是1 -> 可以广播

结果：（3，2）

http://www.dtcms.com/a/418928.html

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