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LeetCode 149：直线上最多的点数

问题本质与核心挑战

给定平面上的点集，需找到 同一直线上最多的点数。核心挑战：

• 如何高效判断三点共线（避免浮点数精度问题）；
• 如何统计不同直线上的点数，避免重复计算。

核心思路：斜率归一化 + 哈希表统计

1. 斜率的归一化表示

两点 (x1,y1) 和 (x2,y2) 的斜率可通过 Δx 和 Δy 的最简分数形式 表示，避免浮点数误差：

• 计算 Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1；
• 求 Δx 和 Δy 的最大公约数（GCD），将两者除以 GCD 得到最简形式；
• 统一符号：确保相同斜率的表示唯一（如 Δx=-2, Δy=4 和 Δx=2, Δy=-4 应归一为同一键）。

2. 哈希表统计

• 枚举每个点作为基准点，统计其他点与该基准点的斜率；
• 用哈希表记录同一斜率的点的数量，结合基准点自身，得到当前直线的最大点数；
• 遍历所有基准点，更新全局最大值。

算法步骤详解（以示例 points = [[1,1],[3,2],[5,3],[4,1],[2,3],[1,4]] 为例）

步骤 1：特殊情况处理

若点集大小 n ≤ 2，直接返回 n（所有点共线）。

步骤 2：枚举基准点，计算斜率

以点 (3,2)（索引 1）为基准点，计算其他点的斜率：

其他点 (x,y)	Δx = x-3	Δy = y-2	GCD(Δx,Δy)	最简形式（Δx/GCD, Δy/GCD）	归一化键（统一符号后）
(1,1)	-2	-1	1	(-2,-1)	2,1（Δx<0，取反）
(5,3)	2	1	1	(2,1)	2,1
(4,1)	1	-1	1	(1,-1)	1,-1
(2,3)	-1	1	1	(-1,1)	1,-1（Δx<0，取反）
(1,4)	-2	2	2	(-1,1)	1,-1（Δx<0，取反）

步骤 3：哈希表统计与最大值更新

• 哈希表记录斜率 2,1 出现 2 次，1,-1 出现 3 次；
• 当前基准点的最大点数为 3 + 1 = 4（3 个其他点 + 基准点自身），与示例输出一致。

完整代码（Java）

class Solution {public int maxPoints(int[][] points) {int n = points.length;if (n <= 2) return n; // 特殊情况：≤2个点必共线int maxCount = 0;for (int i = 0; i < n; i++) { // 枚举每个基准点Map<String, Integer> slopeMap = new HashMap<>();int currentMax = 0;for (int j = 0; j < n; j++) { // 遍历其他点if (i == j) continue; // 跳过自身int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];int dx = x2 - x1;int dy = y2 - y1;String key = getNormalizedSlope(dx, dy); // 归一化斜率slopeMap.put(key, slopeMap.getOrDefault(key, 0) + 1);currentMax = Math.max(currentMax, slopeMap.get(key));}maxCount = Math.max(maxCount, currentMax + 1); // +1 包含基准点自身}return maxCount;}// 归一化斜率：返回统一表示的键private String getNormalizedSlope(int dx, int dy) {if (dx == 0 && dy == 0) {return "0,0"; // 理论上不会出现（点不重复）}int gcd = computeGCD(dx, dy);dx /= gcd;dy /= gcd;// 统一符号：保证dx非负；若dx为0，保证dy非负if (dx == 0) {dy = Math.abs(dy);} else {if (dx < 0) {dx = -dx;dy = -dy;}}return dx + "," + dy;}// 计算最大公约数（处理负数）private int computeGCD(int a, int b) {a = Math.abs(a);b = Math.abs(b);while (b != 0) {int temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;}
}

关键逻辑解析

1. 斜率归一化：

   • 通过 GCD 约分 Δx 和 Δy，避免重复斜率因倍数关系被误判；
   • 统一符号（如 (-2,-1) 转为 (2,1)），确保相同斜率的键唯一。

2. 哈希表统计：

   • 每个基准点独立统计，避免不同基准点的斜率干扰；
   • currentMax + 1 包含基准点自身，保证计数正确。

3. 时间复杂度：

   • 外层遍历 O(n) 个基准点，内层遍历 O(n) 个点，哈希表操作 O(1)，总复杂度 O(n²)，可处理 n=300 的规模。

该方法通过 数学归一化解决精度问题，结合 哈希表高效统计，完美平衡了正确性和效率，是处理“共线点计数”问题的经典方案。