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news 2025/9/28 14:22:16

帝国cms 网站地图 xml,手表之家,前端写一个页面多少钱,北京小程序定制开发目录手动构建“最稀疏”的 AVL 树 1. 高度 h 0 2. 高度 h 1 3. 高度 h 2 4. 高度 h 3 发现规律，建立数学模型惊人的巧合 —— 与斐波那契数列的联系数学公式到最终性能保证我们之前的所有努力，包括旋转、维护平衡，都是为了一…

手动构建“最稀疏”的 AVL 树

1. 高度 h = 0

2. 高度 h = 1

3. 高度 h = 2

4. 高度 h = 3

发现规律，建立数学模型

惊人的巧合 —— 与斐波那契数列的联系

数学公式到最终性能保证

我们之前的所有努力，包括旋转、维护平衡，都是为了一个最终目的：保证树的高度 h 始终维持在节点数 n 的对数级别，即 h=O(logn)。

这个问题的核心是探究 AVL 树的“极限”。为了证明 h 不会增长得太快，我们必须研究“最坏情况”下的 AVL 树。

数据结构：高度（Height）和节点数（Nodes）的关系-CSDN博客

什么是“最坏情况”的 AVL 树？

不是最满的树。
也不是最失衡的树（因为它会被修复）。
而是在满足 AVL 平衡条件的前提下，形态最“瘦高”、最“稀疏”的树。

换句话说，我们的问题可以转化为：给定一个高度 h，构建一棵满足 AVL 条件的树，最少需要多少个节点？我们把这个最少节点数记为 N(h)。

手动构建“最稀疏”的 AVL 树

我们将通过构造法，从小到大，一步步搭建出 N(h)。

1. 高度 `h = 0`

思考：要构建一棵高度为 0 的 AVL 树，最少需要几个节点？
构造：只需要一个根节点即可。
结论： N(0) = 1
形态：

○

2. 高度 `h = 1`

思考：要构建一棵高度为 1 的 AVL 树，并让它的节点数最少，应该怎么组合？
构造：我们需要一个根节点。为了让总高度是 1，它的子树中必须有一个高度为 0 的。为了让节点数最少，另一棵子树的高度就应该尽可能小。根据 AVL 条件 |h_left - h_right| <= 1，另一棵子树的高度可以是 0 或者 -1 (空树)。为了最稀疏，我们选择 -1。
组合：根节点 + 一个高度为 0 的子树 (需要 N(0) 个节点) + 一个高度为 -1 的子树 (需要 0 个节点)。
结论： N(1) = 1 + N(0) + N(-1) = 1 + 1 + 0 = 2
形态：

  ○/
○

3. 高度 `h = 2`

思考：如何用最少的节点，搭一棵高度为 2 的 AVL 树？
构造：我们需要一个根节点。为了让总高度是 2，它的子树中必须有一个高度为 1 的。为了让节点数最少，另一个子树的高度必须是 2 - 1 = 1 或者 2 - 2 = 0。为了最稀疏，我们选择高度为 0 的那个。
组合：根节点 + 一个高度为 1 的“最稀疏”子树 (需要 N(1) 个节点) + 一个高度为 0 的“最稀疏”子树 (需要 N(0) 个节点)。
结论： N(2) = 1 + N(1) + N(0) = 1 + 2 + 1 = 4
形态：

高度 h=2 的最稀疏 AVL 树 (共 4 节点):○            ← 根 (高度 2)/ \○   ○          ← 左子树高度 1，右子树高度 0/○                ← 左子树的“最稀疏”结构 (N(1)=2)

4. 高度 `h = 3`

思考：遵循同样的逻辑...
构造：根节点 + 一个高度为 h-1=2 的最稀疏子树 + 一个高度为 h-2=1 的最稀疏子树。
结论： N(3) = 1 + N(2) + N(1) = 1 + 4 + 2 = 7

先放根：我们需要左、右子树分别是高度 2 和高度 1。

    ○       ← 根，高度 3/ \?   ?

挂上高度 2 的最稀疏子树 (N(2)=4)：把它挂在根的左边：

        ○/ \○   ?/ \○   ○/○

挂上高度 1 的最稀疏子树 (N(1)=2)：挂在根的右边：

        ○ (h=3)/ \○    ○ (h=1)/ \  /○   ○○/○

发现规律，建立数学模型

通过上面的构造过程，我们得到了一个清晰的第一性结论：

要构建一棵高度为 h 的、节点数最少的 AVL 树，它必须由一个根节点、一棵高度为 h-1 的最稀疏 AVL 子树和一棵高度为 h-2 的最稀疏 AVL 子树构成。

这个描述可以直接翻译成一个数学公式，我们称之为递推关系 (Recurrence Relation)。

N(h) = 1 + N(h-1) + N(h-2)

这个公式，就是我们从第一性原理推导出的，描述 AVL 树“最坏情况”下节点数和高度关系的数学模型。我们可以用一个简单的递归函数来实现它，作为我们推导的“代码化”验证。

// 一个简单的函数，用于计算高度为 h 的 AVL 树最少需要多少节点
int minNodes(int h) {// Base Case 1: 高度为 -1 的树是空树，0 个节点if (h < 0) {return 0;}// Base Case 2: 高度为 0 的树，1 个节点if (h == 0) {return 1;}// 根据我们的递推关系进行计算return 1 + minNodes(h - 1) + minNodes(h - 2);
}