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波动率建模（二）GARCH模型及Python实现

news 2025/9/28 12:40:19

1. 模型思想

GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，广义自回归条件异方差）模型的核心思想是：金融资产收益率的波动率（条件方差）随时间变化，且当前波动率可以用过去的信息来预测。它通过引入条件异方差来描述时间序列数据的波动性特征，能够捕捉金融时间序列中的波动性聚集现象（即大波动往往跟随大波动，小波动往往跟随小波动）。

2. 数学形式

2.1 数学形式：GARCH模型通常由两部分组成，均值方程和方差方程。

均值方程：用于描述时间序列数据的线性关系。
方差方程：是GARCH模型的核心，用于描述时间序列数据的波动性。

对于序列 $y_t$ ，令 $\varepsilon_{t} = y_{t} - \mu_{t}$ ，其中 $\mu_{t}$ 是 $y_t$ 的平均值。如果残差 $\varepsilon_{t}$ 满足下述条件，则称 $\varepsilon_{t}$ 服从GARCH(p,q)模型：

$\varepsilon_{t} = \sigma_{t}z_{t}$
$\sigma_{t}^{2} = \alpha_{0} + \sum_{i=1}^{p}\alpha_{i}\varepsilon_{t-i}^{2} + \sum_{j=1}^{q}\beta_{j}\sigma_{t-j}^{2}$

其中， $z_t$ 为零均值、单位方差的独立同分布白噪声序列。

如何理解这种数学形式？要区分“残差”和“波动率”的概念。

通过把残差 $\varepsilon_t$ 分解为 $\sigma_t$ 与 $z_t$ 的乘积，就是把复杂问题拆成“条件方差+标准噪声”。我们相当于说：今天的涨跌 $\varepsilon_t$ ，是由今天市场的“不安程度” $\sigma_t$ 乘上一个标准尺度的随机冲击 $z_t$ 共同决定的。这样， $\sigma_t$ 越大，同样的 $z_t$ 造成的实际涨跌 $\varepsilon_t$ 就越大，直观对应了“市场越动荡，同样消息引发的价格波动也越大”的经济直觉。

再假设 $z_t$ 是“干净”的白噪声（零均值、单位方差、独立同分布）。这样， $z_t$ 的统计性质变得非常简单：它只负责提供“标准尺度”的随机性，而所有复杂的时变波动特征都被 $\sigma_t$ 吸收了。于是，对 $z_t$ 的检验（如是否独立、是否正态）可以直接在标准化残差 $\hat{z}_t= \varepsilon_t/\sigma_t$ 上进行，大大简化了模型诊断。

便于极大似然估计：只要给定 $z_t$ 的分布（如标准正态），就能写出 $\varepsilon_t$ 的条件密度，进而构造似然函数。 $\sigma_t$ 作为条件标准差，直接出现在密度函数里，估计过程变得系统化。

风险度量：VaR、ES 等风险指标都依赖于“未来波动率”的预测。 $\sigma_t$ 本身就是这个预测值，而 $z_t$ 的分位数（如 1% 分位数）可以用来计算 VaR： $VaR_t = \mu_t + \sigma_t \cdot q_z$ 。