狄利克雷卷积

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一、定义

狄利克雷卷积是定义在数论函数（即定义域为正整数，值域为复数域的函数）之间的一种二元运算。

设 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是两个数论函数，它们的狄利克雷卷积是一个新的数论函数，记作 $(f\ast g)(n)$，定义为：

$$(f\ast g)(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\cdot g\left(\frac{n}{d}\right)$$

其中，求和是对 $n$ 的所有正因数 $d$ 进行的。

这个定义也可以等价地写为（令 $k=\frac{n}{d}$）：
$$(f\ast g)(n)=\sum _{ab=n}f(a)\cdot g(b)$$
即对所有满足 $a\times b=n$ 的正整数对 $(a,b)$ 求和。

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二、为什么叫“卷积”？

这个名字来源于卷积（Convolution） 的通用概念。在数学中，卷积是一种通过两个函数生成第三个函数的数学算子，它表示一个函数在经过另一个函数“加权”和“翻转平移”后的叠加效果。

狄利克雷卷积的具体形式 ${\sum }_{d|n}f(d)g(n/d)$ 完美地符合了这种“加权求和”的思想：

• 它“翻转”了除数 $d$（将其变为 $n/d$）。
• 它对所有可能的“平移”（即所有除数对）进行了“加权”（$f(d)$ 和 $g(n/d)$ 的乘积）求和。

因此，它是离散情形下（定义在正整数格点上）的一种典型卷积。

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三、基本性质

狄利克雷卷积赋予所有数论函数的集合一个非常优美的代数结构。

1. 交换律 (Commutativity)

$$f\ast g=g\ast f$$
证明：
$$(f\ast g)(n)=\sum _{ab=n}f(a)g(b)=\sum _{ba=n}g(b)f(a)=(g\ast f)(n)$$
本质上是因为乘法 $ab=n$ 具有交换性。

2. 结合律 (Associativity)

$$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$$
证明：
$((f\ast g)\ast h)(n)={\sum }_{ab=n}(f\ast g)(a)\cdot h(b)={\sum }_{ab=n}\left({\sum }_{cd=a}f(c)g(d)\right)h(b)={\sum }_{cdb=n}f(c)g(d)h(b)$

$(f\ast (g\ast h))(n)={\sum }_{ac=n}f(a)\cdot (g\ast h)(c)={\sum }_{ac=n}f(a)\left({\sum }_{bd=c}g(b)h(d)\right)={\sum }_{abd=n}f(a)g(b)h(d)$

由于 $c,d,b$ 都是求和变量，两种形式等价。

3. 分配律 (Distributivity)

$$f\ast (g+h)=(f\ast g)+(f\ast h)$$
证明：根据求和的线性性质，显然成立。

4. 单位元 (Identity Element)

存在一个特殊的数论函数 $\epsilon (n)$，称为卷积单位元，使得对于任何数论函数 $f$，都有：
$$f\ast \epsilon =\epsilon \ast f=f$$

这个函数就是：
$$\epsilon (n)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }n=1\\ 0& \text{if }n>1\end{array}$$
它也被称为单位函数。

证明：
$(f\ast \epsilon )(n)={\sum }_{d|n}f(d)\epsilon (n/d)$
只有当 $n/d=1$，即 $d=n$ 时，$\epsilon (n/d)=1$，其他项均为 0。
所以 $(f\ast \epsilon )(n)=f(n)\cdot 1=f(n)$。

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四、逆元 (Inverse)

并非所有数论函数都有逆元。如果一个数论函数 $f(n)$ 满足 $f(1)\ne 0$，那么存在唯一的数论函数 $g(n)$，使得：
$$f\ast g=\epsilon$$
这个函数 $g$ 称为 $f$ 的狄利克雷逆元（Dirichlet Inverse），记作 $f^{-1}$。

逆元可以通过递归定义来求出：

1. $g(1)=\frac{1}{f(1)}$ （这就是为什么要求 $f(1)\ne 0$）
2. 对于 $n>1$：
   $$g(n)=-\frac{1}{f(1)}\sum _{\begin{array}{c}d|n\\ d>1\end{array}}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$$

例子：莫比乌斯函数 $\mu (n)$ 就是常数函数 $1(n)=1$ 的逆元，即 $\mu =1^{-1}$。这直接导致了著名的莫比乌斯反演公式。

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五、几个重要的例子

理解狄利克雷卷积的最佳方式就是看例子。我们定义几个常见的数论函数：

• 常数函数： $1(n)=1$ （对于所有 $n$）
• 恒等函数： $\mathbf{id}(n)=n$
• 单位函数： $\epsilon (n)$ （见上文）
• 欧拉函数： $\phi (n)$ （小于等于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数）
• 除数函数： $d(n)$ （$n$ 的正因数的个数）
• 莫比乌斯函数： $\mu (n)$

现在来看一些重要的卷积恒等式：

1. $1$ 与 $1$ 的卷积
   $$(1\ast 1)(n)=\sum _{d|n}1\cdot 1=\sum _{d|n}1=d(n)$$
   结论：除数函数 $d=1\ast 1$。

2. $1$ 与 $\mathbf{id}$ 的卷积
   $$(1\ast \mathbf{id})(n)=\sum _{d|n}1\cdot \frac{n}{d}=\sum _{d|n}\frac{n}{d}=\sum _{d|n}d=\sigma (n)$$
   结论：因数和函数 $\sigma =1\ast \mathbf{id}$。

3. $1$ 与 $\phi$ 的卷积（最著名的恒等式之一）
   $$(1\ast \phi )(n)=\sum _{d|n}\phi (d)$$
   这个和有一个美妙的结论：它等于 $n$ 本身。
   $$\sum _{d|n}\phi (d)=n$$
   证明思路：考虑分母为 $n$ 的所有最简分数，将其分组，每一组的分母是 $n$ 的某个约数 $d$。
   结论： $1\ast \phi =\mathbf{id}$。

4. $1$ 与 $\mu$ 的卷积（逆元的定义）
   $$(1\ast \mu )(n)=\sum _{d|n}1\cdot \mu (d)=\sum _{d|n}\mu (d)$$
   根据逆元的定义，因为 $\mu =1^{-1}$，所以：
   $$1\ast \mu =\epsilon$$
   即 ${\sum }_{d|n}\mu (d)=\epsilon (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n>1\end{array}$
   这个性质是莫比乌斯反演公式的核心。

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六、莫比乌斯反演公式 (Möbius Inversion Formula)

狄利克雷卷积最著名的应用就是导出莫比乌斯反演公式。

定理：假设 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是两个数论函数，如果有：
$$f(n)=\sum _{d|n}g(d)$$
那么可以有：
$$g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f\left(\frac{n}{d}\right)$$

用卷积语言证明，极其简洁：
原式 $f(n)={\sum }_{d|n}g(d)$ 其实就是 $f=1\ast g$。
两边同时卷积上 $1$ 的逆元 $\mu$：
$$\mu \ast f=\mu \ast (1\ast g)$$
根据结合律：
$$\mu \ast f=(\mu \ast 1)\ast g$$
因为 $\mu \ast 1=\epsilon$，所以：
$$\mu \ast f=\epsilon \ast g=g$$
即 $g=\mu \ast f$，写开就是：
$$g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f(\frac{n}{d})$$
证毕。

卷积的代数性质让这个证明变得清晰而强大。

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七、总结与重要性

狄利克雷卷积之所以如此重要，是因为它：

1. 提供了强大的代数工具：它将数论函数的研究转化为一个代数系统（实际上形成一个交换环），可以使用交换律、结合律、逆元等工具进行运算和证明。
2. 统一了数论函数的关系：许多看似不相关的数论函数和恒等式（如 ${\sum }_{d|n}\phi (d)=n$, ${\sum }_{d|n}\mu (d)=0$）都可以用卷积优雅地表示和推导。
3. 是更高级理论的基石：它是理解狄利克雷级数（特别是黎曼ζ函数）的基础。卷积关系在级数上对应着乘法关系：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(f\ast g)(n)}{n^s}=\left({\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{f(n)}{n^s}\right)\left({\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{g(n)}{n^s}\right)$。
4. 简化了计算和证明：如莫比乌斯反演的证明所示，卷积语言将复杂的求和问题转化为简洁的代数操作。

希望这份详解能帮助你彻底理解狄利克雷卷积这个优美而有力的数学工具！