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本文聚焦 截断（包裹）相位 ${\varphi }_{\text{wrapped}}\in [-\pi ,\pi )$ 的求解公式与误差特性，比对常用的 3 步、4 步 以及 通用 N 步 相移法。文中约定投影/干涉条纹的理想强度模型为

$$$I_k(x,y)=I_0(x,y)+I_m(x,y)\cos [\varphi (x,y)+{\alpha }_k],k=1\dots N$$$

其中 $I_0$ 为平均光强，$I_m$ 为调制度，$\varphi$ 为待求物面相位，${\alpha }_k$ 为已知相移。

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1 · 三步相移（Δα = 120°）

属性	说明
典型相移序列	{0,  2π/3,  4π/3}\{0,\;2\pi/3,\;4\pi/3\}{0,2π/3,4π/3}
截断相位公式	${\varphi }_{\text{wrap}}={\tan }^{-1}[\sqrt{3}(I_1-I_3)2I_2-I_1-I_3]$
采样数	3 帧 → 帧率高、抖动窗口短
噪声方差	${\sigma }_{\varphi }^2\approx 2{\sigma }_I^2/(3I_m^2)$（白噪声假设）
优/缺点	帧数最少→速度快；但对光强非线性和相移误差更敏感，偶次谐波无法抵消，SNR 较 4 步低约 33 %

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2 · 四步相移（Δα = 90°，最常用）

属性	说明
相移序列	{0,  π/2,  π,  3π/2}\{0,\;\pi/2,\;\pi,\;3\pi/2\}{0,π/2,π,3π/2}
截断相位公式	${\varphi }_{\text{wrap}}={\tan }^{-1}[I_4-I_2,I_1-I_3]$
采样数	4 帧
噪声方差	${\sigma }_{\varphi }^2\approx 2{\sigma }_I^2/(4I_m^2)={\sigma }_I^2/(2I_m^2)$
优/缺点	对偶次谐波（$\gamma$ 失真）具有完全抵消能力；相移校准误差对相位的偶函数——一阶不敏感；相比 3 步，SNR 提升 ≈ 1.33 ×，但帧数多一帧；仍易受振动影响，需要帧间稳定

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3 · 通用 N 步相移（均匀步距 2π/N）

• 同步检测/DFT 公式

  ${\varphi }_{\text{wrap}}=-atan2!({\sum }_{k=1}^N{I}_k\sin {\alpha }_k,{\sum }_{k=1}^N{I}_k\cos {\alpha }_k),{\alpha }_k=\frac{2\pi (k-1)}{N}$

• 误差与冗余
  ${\sigma }_{\varphi }^2\approx 2{\sigma }_I^2/(N{I}_m^2)$：噪声方差随帧数增加而下降，故增加步数能显著提高信噪比与抗伪影能力，但对运动/振动的容忍度降低，采集时间线性变长。

• 谐波抑制
  若 N ≥ 4，偶次谐波可通过加权设计进一步抵消；N 为奇数时需专门的包络补偿或双频技术降低 γ‑畸变误差。

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4 · 截断相位计算常见实现要点

1. 使用 atan2(y,x) —— 可直接获得 (‑π, π] 内的主值；别忘了数值环境下对 x=y=0 的保护。

2. 包裹 → 解包 —— 相位解包方法（行/列贯通、质量门限或多频异步解包）与相移步数无关，但高 SNR （多步）可显著降低解包跳变。

3. 调制度 & 直流 ——

   $I_0=\frac{1}{N}{\sum }_k{I}_k,I_m=\frac{2}{N}\sqrt{(\sum I_k\cos {\alpha }_k{)}^2+(\sum I_k\sin {\alpha }_k{)}^2}$

   低调制度区域应在相位图上作置信度掩码，避免噪声放大。

4. 相移误差校准 —— 采用自标定（例如 Hariharan 4+4 帧、Carré 5 帧）或离线标定消除固定伺服误差；4 步在 ±5 % 相移偏差下的相位误差与 3 步几乎相当，但用 5 步可再降 1 个数量级。

5. γ‑畸变对策 —— 若投影或传感器非线性明显：

   • 用 4、N=2^m 步并配合正余弦权重抵消偶次谐波；

   • 或采用“平均分两趟”双频复合相移；

   • 或直接线性化 LUT / γ‑校正。

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5 · 选型建议小结

方案	适用场景	优势	劣势
3 步 (120°)	高速 动态采集、帧率瓶颈严重	最少帧数、实现简单	SNR 最低，对 γ 相移误差最敏感
4 步 (90°)	通用静态/准动态测量	SNR 较高、偶次谐波抵消、一阶相移误差抵消	帧数略增；对振动仍敏感
N 步 (≥5)	高精度、对噪声/非线性很苛刻的离线测量	SNR 随 N 提升，误差可设计抑制	采集时间长，硬件稳定性要求高