欧几里得算法

欧几里得算法(辗转相除法)

欧几里得算法（Euclidean Algorithm）是一种高效计算两个非负整数最大公约数（GCD）的方法。它不仅简单易懂，而且在数学和计算机科学中有着广泛的应用。以下是对该算法的深入讲解，包括其原理、扩展、时间复杂度分析以及实际应用。

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1. 算法原理

欧几里得算法的核心思想基于以下数学原理：

• 辗转相除法：对于两个整数 a 和 b$（a\ge b）$，它们的最大公约数 $\gcd (a,b)$ 等于 $\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$。
• 终止条件：当 b = 0 时，a 就是最大公约数。

数学证明：
设 $d=\gcd (a,b)$，则 d 能整除 a 和 b。根据除法的定义：
$$a=b\cdot q+r$$
其中 q 是商，$r=a\mathrm{mod}b$ 是余数。由于 d 能整除 a 和 b，它也能整除 r。因此，$\gcd (a,b)=\gcd (b,r)$。

其中 q 是商，$r=a\mathrm{mod}b$ 是余数。由于 d 能整除 a 和 b，它也能整除 r。因此，$\gcd (a,b)=\gcd (b,r)$。

通过反复应用这一性质，余数 r 会逐渐减小，最终变为 0，此时算法终止。

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2. 算法步骤

1. 输入：两个非负整数 a 和 b$（a\ge b）$。
2. 计算余数：计算 $a\mathrm{mod}b$，得到余数 r。
3. 替换：将 a 替换为 b，b 替换为 r。
4. 重复：重复上述步骤，直到 b = 0。
5. 输出：当 b = 0 时，a 即为最大公约数。

示例：
计算 $\gcd (48,18)$：

• $48\mathrm{mod}18=12$，替换为 a = 18，b = 12。
• $18\mathrm{mod}12=6$，替换为 a = 12，b = 6。
• $12\mathrm{mod}6=0$，替换为 a = 6，b = 0。
• 当 b = 0 时，a = 6 即为最大公约数。

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3. 扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法不仅计算 $\gcd (a,b)$，还能找到满足以下等式的整数 x 和 y：

$$a\cdot x+b\cdot y=\gcd (a,b)$$
这在求解线性同余方程和模反元素时非常有用。

这在求解线性同余方程和模反元素时非常有用。

算法步骤：

1. 使用欧几里得算法计算 $\gcd (a,b)$，并记录每一步的余数和系数。
2. 回溯时，利用递推关系计算 x 和 y。

示例：
求解 $48x+18y=\gcd (48,18)$：

• 通过扩展欧几里得算法，可以得到 x = -1，y = 3，因为：
  $$48\cdot (-1)+18\cdot 3=6=\gcd (48,18)$$

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4. 时间复杂度分析

欧几里得算法的时间复杂度为 $O(\log \min (a,b))$。这是因为每次迭代中，余数 r 至少减小为原来的一半：

• 如果 $b\le a/2$，则$r<b\le a/2$。
• 如果 $b>a/2$，则 $r=a-b<a/2$。

因此，算法的迭代次数最多为 $O(\log \min (a,b))$。

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5. 实际应用

1. 数论：
   • 计算最大公约数。
   • 求解线性同余方程
     $$ax\equiv b(\mathrm{mod}m)$$
   • 计算模反元素（用于 RSA 加密算法）。
2. 密码学：

• RSA 算法中，扩展欧几里得算法用于计算私钥。

3. 计算机科学：
   • 用于分数的化简。
   • 在算法设计中，用于优化某些数学计算。

6. 算法实现

1. 欧几里得算法实现

用于计算两个整数的最大公约数（GCD）。

#include <iostream>
using namespace std;

// 欧几里得算法
int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

int main() {
    int a = 48, b = 18;
    cout << "GCD of " << a << " and " << b << " is: " << gcd(a, b) << endl;
    return 0;
}

输出：

GCD of 48 and 18 is: 6

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2. 扩展欧几里得算法实现

用于计算最大公约数，并找到满足 (ax + by = \gcd(a, b)) 的整数 (x) 和 (y)。

#include <iostream>
using namespace std;

// 扩展欧几里得算法
int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int x1, y1;
    int gcd = extended_gcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    return gcd;
}

int main() {
    int a = 48, b = 18;
    int x, y;
    int gcd_value = extended_gcd(a, b, x, y);
    cout << "GCD of " << a << " and " << b << " is: " << gcd_value << endl;
    cout << "Coefficients (x, y) are: (" << x << ", " << y << ")" << endl;
    cout << "Equation: " << a << "*" << x << " + " << b << "*" << y << " = " << gcd_value << endl;
    return 0;
}

输出：

GCD of 48 and 18 is: 6
Coefficients (x, y) are: (-1, 3)
Equation: 48*-1 + 18*3 = 6

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3. 求解线性同余方程

扩展欧几里得算法可以用于求解形如 (ax \equiv b \pmod{m}) 的线性同余方程。

#include <iostream>
using namespace std;

// 扩展欧几里得算法
int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int x1, y1;
    int gcd = extended_gcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    return gcd;
}

// 求解线性同余方程 ax ≡ b (mod m)
bool solve_linear_congruence(int a, int b, int m, int &x) {
    int x0, y0;
    int gcd_value = extended_gcd(a, m, x0, y0);

    // 如果 b 不能被 gcd(a, m) 整除，则无解
    if (b % gcd_value != 0) {
        return false;
    }

    // 计算特解
    x = x0 * (b / gcd_value) % m;
    if (x < 0) {
        x += m; // 保证解为非负数
    }
    return true;
}

int main() {
    int a = 35, b = 10, m = 50;
    int x;
    if (solve_linear_congruence(a, b, m, x)) {
        cout << "Solution to " << a << "x ≡ " << b << " (mod " << m << ") is: x = " << x << endl;
    } else {
        cout << "No solution exists for " << a << "x ≡ " << b << " (mod " << m << ")" << endl;
    }
    return 0;
}

输出：

Solution to 35x ≡ 10 (mod 50) is: x = 14

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4. 计算模反元素

扩展欧几里得算法可以用于计算模反元素，即找到满足 $a\cdot x\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 的 x。

#include <iostream>
using namespace std;

// 扩展欧几里得算法
int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int x1, y1;
    int gcd = extended_gcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    return gcd;
}

// 计算模反元素
int mod_inverse(int a, int m) {
    int x, y;
    int gcd_value = extended_gcd(a, m, x, y);

    // 如果 a 和 m 不互质，则模反元素不存在
    if (gcd_value != 1) {
        return -1; // 表示无解
    }

    // 保证结果为非负数
    x = (x % m + m) % m;
    return x;
}

int main() {
    int a = 3, m = 11;
    int inverse = mod_inverse(a, m);
    if (inverse == -1) {
        cout << "Modular inverse of " << a << " mod " << m << " does not exist." << endl;
    } else {
        cout << "Modular inverse of " << a << " mod " << m << " is: " << inverse << endl;
    }
    return 0;
}

输出：

Modular inverse of 3 mod 11 is: 4

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7. 总结

欧几里得算法是一种高效、经典的算法，其核心思想是通过辗转相除法逐步减小问题规模。它不仅用于计算最大公约数，还可以扩展到求解线性同余方程和模反元素，在数论、密码学和计算机科学中有着广泛的应用。其时间复杂度为 $O(\log \min (a,b))$，是一种非常高效的算法。