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参考资料：
书籍：数值分析简明教程/王兵团，张作泉，张平福编著. --北京：清华大学出版社；北京交通大学出版社，2012.8
视频：学堂在线APP中北京交通大学“数值分析I”

前期回顾

【数值分析】01-绪论-重要性、计算机中的数系与运算特点
【数值分析】02-绪论-误差
【数值分析】03-绪论-有效数字
【数值分析】04-绪论-数值分析内容、常用概念及要注意地方

课后习题及答案

1、 $已知3=1.7320508⋯的三个近似值分别为x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320,这些近似数各有几位有效数字？为什么已知\sqrt{3}=1.7320508\cdots的三个近似值分别为x_1=1.73,x_2=1.7321,x_3=1.7320,这些近似数各有几位有效数字？为什么$

解： $令x=3=1.7320508⋯e(x1)=∣x1−x∣=0.0020508⋯=0.20508⋯×10−2<0.5×10−2即：m−n=−2,m=1⇒n=3即：x1有3位有效数字同理可得：⇒x2：m−n=−4,m=1,n=5⇒x3:m−n=−3,m=1,n=4综上可得：x1,x2,x3的有效位数分别为：3，5，4\begin{array}{l}令x=\sqrt{3}=1.7320508\cdots\\ e(x_1)=|x_1-x|=0.0020508\cdots=0.20508\cdots\times 10^{-2}\lt 0.5\times 10^{-2}\\ 即：m-n=-2,m=1\Rightarrow n=3\\ 即：x_1有3位有效数字\\ 同理可得：\\ \Rightarrow x_2：m-n=-4,m=1,n=5\\ \Rightarrow x_3: m-n=-3,m=1,n=4\\ \quad \\ 综上可得：x_1,x_2,x_3的有效位数分别为：3，5，4\end{array}$

2、下列各数是按四舍五入方法获得的近似数，指出他们各有几位有效数字？
$,-0.0105,0.3140\times 10^3,0.314\times 10^3$

解： $转换为规格化浮点数：10.006=0.10006×101⇒5位−0.0105=−0.105×10−1⇒3位0.3140×103⇒4位0.314×103⇒3位\begin{array}{l} 转换为规格化浮点数：\\10.006=0.10006\times 10^1\Rightarrow 5位 \\-0.0105=-0.105\times 10^{-1}\Rightarrow 3位\\0.3140\times 10^3\Rightarrow 4位\\ 0.314\times 10^3\Rightarrow 3位\\ \end{array}$

3、已知 $2.153$ 是 $2.1542$ 的近似数，问该近似数有几位有效数字？它的绝对误差和相对误差各是多少？

解： $令x=2.1542=0.21542×101，近似数x∗=2.153=0.2153×101⇒m=1∣x−x∗∣=0.0012=0.12×10−2≤0.5×10−2m−n=−2⇒n=3，有效位数是3绝对误差：e∗=x∗−x=−0.12×10−2相对误差：er∗=e∗x=−0.000557051\begin{array}{l}令x=2.1542=0.21542\times 10^1，\\ 近似数x^*=2.153=0.2153\times 10^1\Rightarrow m=1\\ |x-x^*|=0.0012=0.12\times 10^{-2}\le 0.5\times 10^{-2}\\ m-n=-2\Rightarrow n=3，有效位数是3\\绝对误差：e^*=x^*-x=-0.12\times 10^{-2}\\ 相对误差：e_r^*=\frac{e^*}{x}=-0.000557051 \end{array}$

4、假设 $x_1=4.8675,x_2=4.08675,x_3=0.08675$ 是由四舍五入得到的近似数，求下列各近似数的误差限：
$(1)、x1+x2+x3(2)、x1x2(3)、x1x2\begin{matrix}(1)、x_1+x_2+x_3&(2)、x_1x_2&(3)、\frac{x_1}{x_2}\end{matrix}$

解： $dx1=e(x1)≤0.5×10−4,dx2=e(x2)≤0.5×10−5,dx3=e(x3)≤0.5×10−5⇒(1)、x1+x2+x3=d(x1+x2+x3)≤dx1+dx2+dx3=6×10−5⇒(2)、x1x2=d(x1x2)=x1dx2+x2dx1≤x1×0.5×10−5+x2×0.5×10−4=(0.5x1+5x2)×10−5=22.8675×10−5=2.28675×10−4(3)、x1x2=d(x1x2)=x2dx1−x1dx2x22≤(5x2+0.5x1)×10−5x22≈1.3691863×10−5⇒\begin{array}{l}dx_1=e(x_1)\le 0.5\times 10^{-4},dx_2=e(x_2)\le 0.5\times10^{-5},dx_3=e(x_3)\le 0.5\times 10^{-5} \\ \Rightarrow (1)、x_1+x_2+x_3 \\ =d(x_1+x_2+x_3)\le dx_1+dx_2+dx_3\\=6\times 10^{-5}\\ \quad \\ \Rightarrow (2)、x_1x_2\\ =d(x_1x_2)=x_1dx_2+x_2dx_1\le x_1\times 0.5\times10^{-5}+x_2\times 0.5\times 10^{-4}\\ =(0.5x_1+5x_2)\times 10^{-5}\\=22.8675\times 10^{-5}\\=2.28675\times 10^{-4}\\ \quad \\ (3)、\frac{x_1}{x_2}\\=d(\frac{x_1}{x_2})=\frac{x_2dx_1-x_1dx_2}{x_2^2}\le \frac{(5x_2+0.5x_1)\times 10^{-5}}{x_2^2}\\ \approx 1.3691863\times 10^{-5} \Rightarrow\end{array}$

5、下列格式如何计算更好？
$(1)、y=11+2x−1−x1+x(当∣x∣≪1时)(2)、y=sin⁡α−sin⁡β(α与β很接近)(3)、y=x+1x−x−1x（当x≫1时）(4)、y=107(1−cos⁡2∘)(5)、y=x−arctan⁡x,x≪1\begin{array}{l}(1)、y=\frac{1}{1+2x}-\frac{1-x}{1+x}\quad \quad (当|x|\ll1时)\\ (2)、y=\sin \alpha-\sin \beta \quad \quad (\alpha与\beta很接近)\\ (3)、y=\sqrt{x+\frac{1}{x}}-\sqrt{x-\frac{1}{x}} （当x\gg 1时）\\(4)、y=10^7(1-\cos 2^{\circ})\\(5)、y=x-\arctan x,x\ll 1\end{array}$

解： $(1)、y=11+2x−1−x1+x⇒当∣x∣≪1时⇒11+2x与1−x1+x是两个相近数相减问题⇒进行统分化简得：⇒y=2x2(1+2x)(1+x)就避免两个相近数相减得问题(2)、y=sin⁡α−sin⁡β⇒α与β很接近,sin⁡α与sin⁡β是相近数相减问题⇒利用三角函数和差化集公式可得：⇒y=2sin⁡α−β2cos⁡α+β2(3)、y=x+1x−x−1x⇒当x≫1时，是两个相近数相减问题⇒进行通分分子分母同时乘x2+1+x2−1得：⇒y=2x3+x−x3−x(4)、y=107(1−cos⁡2∘)⇒1与cos⁡2∘是相近数相减⇒由三角倍角公式可得：⇒y=2sin⁡1∘×107(5)、y=x−arctan⁡x⇒当x≪1是，是两个相近数相减⇒由泰勒展在0处开式可得：⇒y=x−arctan⁡x=x3(13−x25)\begin{array}{l} (1)、y=\frac{1}{1+2x}-\frac{1-x}{1+x} \\ \Rightarrow 当|x|\ll 1时\\ \Rightarrow \frac{1}{1+2x}与\frac{1-x}{1+x}是两个相近数相减问题\\ \Rightarrow 进行统分化简得：\\ \Rightarrow y=\frac{2x^2}{(1+2x)(1+x)}就避免两个相近数相减得问题 \\ \quad \\ \\ \quad \\ (2)、y=\sin \alpha-\sin \beta \\ \Rightarrow \alpha与\beta很接近,\sin \alpha与\sin \beta是相近数相减问题\\ \Rightarrow 利用三角函数和差化集公式可得：\\ \Rightarrow y=2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \\ \quad \\ \\ \quad \\ (3)、y=\sqrt{x+\frac{1}{x}}-\sqrt{x-\frac{1}{x}} \\ \Rightarrow 当x\gg 1时，是两个相近数相减问题\\ \Rightarrow 进行通分分子分母同时乘\sqrt{x^2+1} +\sqrt{x^2-1}得：\\ \Rightarrow y=\frac{2}{\sqrt{x^3+x}-\sqrt{x^3-x}} \\ \quad \\ \\ \quad \\ (4)、y=10^7(1-\cos 2^{\circ})\\ \Rightarrow 1与\cos 2^{\circ}是相近数相减\\ \Rightarrow 由三角倍角公式可得：\\ \Rightarrow y=2\sin 1^{\circ}\times10^7 \\ \quad \\ \\ \quad \\ (5)、y=x-\arctan x \\ \Rightarrow 当x\ll 1是，是两个相近数相减\\ \Rightarrow 由泰勒展在0处开式可得：\\ \Rightarrow y=x-\arctan x=x^3(\frac{1}{3}-\frac{x^2}{5})\end{array}$

6、用一元二次方程求根公式 $x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 在字长为8位的计算机上求一元二次方程 $x2−(109+4)x+4×109=0x^2-(10^9+4)x+4\times 10^9=0$ 的根，将求出的计算解与方程的准确解释做对比，对你的计算结果给出解释。

解： $由求根公式：x1,2=−b±b2−4ac2a代入数值得：x1,2=(109+4)±(109+4)2−4×4×1092×4×109=(109+4)±(109−4)2×4×109⇒x1=1109,x2=14在字长8位的计算机上在输出数据信息时会提示溢出错误，109已经出现上溢错误。\begin{array}{l} 由求根公式：x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \quad \\代入数值得：\\x_{1,2}=\frac{(10^9+4)\pm \sqrt{(10^9+4)^2-4\times 4\times 10^9}}{2\times 4\times 10^9} =\frac{(10^9+4)\pm (10^9-4)}{2\times 4\times 10^9}\\ \quad \\ \Rightarrow x_1=\frac{1}{10^9},x_2=\frac{1}{4} \\ \quad \\在字长8位的计算机上在输出数据信息时会提示溢出错误，10^9已经出现上溢错误。\end{array}$

7、说明把相对误差的计算公式 $er(x∗)=e∗x=x∗−xxe_r(x^*)=\frac{e^*}{x}=\frac{x^*-x}{x}$ 用公式 $e∗x∗=x∗−xx∗\frac{e^*}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*}$ 来代替的合理性，并指出这种替代的条件。

解： $令er∗=e∗x∗=x∗−xx∗,er=er(x∗)=e∗x=x∗−xxer−er∗=e∗x−e∗x∗=e∗(x∗−x)xx∗=er×erxx∗⇒er2x∗x=er21+erer−er∗=e∗x−e∗x∗=e∗(x∗−x)xx∗=er∗×er∗x∗x⇒(er∗)2xx∗=(er∗)21−er∗综上可得：er21+er=(er∗)21−er∗\begin{array}{l}令e_r^*=\frac{e^*}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*},e_r=e_r(x^*)=\frac{e^*}{x}=\frac{x^*-x}{x}\\ \quad \\ e_r-e_r^*=\frac{e^*}{x}- \frac{e^*}{x^*}=\frac{e^*(x^*-x)}{xx^*}=\frac{e_r\times e_rx}{x^*}\\ \quad \\ \Rightarrow\frac{e_r^2}{\frac{x^*}{x}}=\frac{e_r^2}{1+e_r}\\ \quad \\ e_r-e_r^*=\frac{e^*}{x}- \frac{e^*}{x^*}=\frac{e^*(x^*-x)}{xx^*}=\frac{e_r^*\times e_r^*x^*}{x}\\ \quad \\ \Rightarrow \frac{(e_r^*)^2}{\frac{x}{x^*}}=\frac{(e_r^*)^2}{1-e_r^*}\\ \quad \\ 综上可得： \frac{e_r^2}{1+e_r}=\frac{(e_r^*)^2}{1-e_r^*}\end{array}$